Question

O valor do cacau foi analisado ao longo dos meses e verificou-se sua variação é
representada pela função p(t) = 2t³ - 12t² + 18t + 20 , sendo que t é o número do mês a partir do mês t=0 , que marca o início dos estudos. Esboce o gráfico da função p(t) para os cinco primeiros meses a partir do início das análises, indicando, se existirem, pontos de máximo ou mínimo ( locais e globais) para o preço do cacau.

Answer 1

Para a construção do gráfico, basta substituir o valor de t na função por 1, 2, 3, 4, 5 (cinco primeiros meses), obtendo os valores de p, e marcar os pontos no plano cartesiano.

p(1) = 2·1³ - 12·1² + 18·1 + 20

p(1) = 2 - 12 + 18 + 20

p(1) = 28

p(2) = 2·2³ - 12·2² + 18·2 + 20

p(2) = 2·8 - 12·4 + 36 + 20

p(2) = 16 - 48 + 36 + 20

p(2) = 24

p(3) = 2·3³ - 12·3² + 18·3 + 20

p(3) = 2·27 - 12·9 + 54 + 20

p(3) = 54 - 108 + 54 + 20

p(3) = 20

p(4) = 2·4³ - 12·4² + 18·4 + 20

p(4) = 2·64 - 12·16 + 72 + 20

p(4) = 128 - 192 + 72 + 20

p(4) = 28

p(5) = 2·5³ - 12·5² + 18·5 + 20

p(5) = 2·125 - 12·25 + 90 + 20

p(5) = 250 - 300 + 90 + 20

p(5) = 60

Cálculo do ponto de máximo e de mínimo.

Realizamos a primeira derivada e a segunda derivada da função p = p(t).

p'(t) = 6t² - 24t + 18

p''(t) = 12t - 24

Resolvemos a equação p'(t) = 0 para obtermos os pontos críticos de p = p(t).

0 = 6t² - 24t + 18

Resolvendo a equação do 2° grau, temos:

t₁ = 3  e  t₂ = 1

Os dois pontos críticos são: t₁ = 3 e t₂ = 1

Aplicamos p'' nestes pontos t₁ e t₂.

p''(3) = 12·3 - 24

p''(3) = 36 - 24

p''(3) = 12 > 0

p''(1) = 12·1 - 24

p''(1) = 12 - 24

p''(1) = - 12 < 0

Pelos sinais de p'' nos pontos críticos, temos que t₁ = 3 é ponto de mínimo e t₂ = 1 é ponto de máximo para p = p(t).