Question

O valor de x para que log (2x - 2) + log (3x - 16)
=
log 120
a) 6
log 6 é:
b) 5
c) 4
d) 3
e) 2

Answer 1

O valor de x para que a Equação Logarítmica seja verdadeira é:

x = 8,136 (valor aproximado - primeiro caso) e x = 5,553 (valor aproximado - segundo caso)

Aplicando os conceitos de Propriedades dos Logaritmos para calcular a Equação Logarítmica.

• Propriedade: logaritmo de um produto

$log_{a}(m . n) = log_{a}m + log_{a}n$

• Aplicando a propriedade à primeira equação, temos:

$log(2x-2) + log(3x-16) = log120\\log[(2x-2) . (3x-16)] = log120$

• Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação e reduzindo os termos, temos a seguinte equação final:

$log[(2x-2) . (3x-16)] = log120\\log[6x^{2} -32x-6x+32] = log120\\log[6x^{2} -38x+32] = log120$

• Em uma igualdade de logaritmos de mesma base, sabe-se que existe igualdade entre os logaritmandos.

logx = logy ⇔ x = y

• Com base nessa propriedade, temos:

$6x^{2} -38x+32 = 120\\6x^{2}-38x+32-120 = 0\\6x^{2}-38x-88 = 0$

• Relembrando a Fórmula de Bhaskara para resolução da equação do segundo grau:

$x=\frac{-b+-\sqrt{b^{2}-4ac } }{2a}$

• Substituindo os valores e resolvendo a equação:

$x=\frac{-(-38)+-\sqrt{(-38)^{2}-4.6.(-88) } }{2.6}\\x=\frac{38+-\sqrt{3556 } }{12}$

• Calculando os valores de x₁ e x₂, temos:

$x_{1} =\frac{38+\sqrt{3556 } }{12}\\\\x_{2} =\frac{38-\sqrt{3556 } }{12}$

x₁ = 8,136 (valor aproximado)

x₂ = -1,803 (valor aproximado)

O valor encontrado para x₂ impõe um logaritmando < 0, o que inviabiliza a igualdade log(2x-2) + log(3x-16) = log120.

Portanto, apenas x₁ = 8,136 (valor aproximado) é uma resposta possível para x, na equação logarítmica proposta no primeiro caso.

Segundo caso: valor de x para log(2x-2) + log(3x-16) = log6

• Aplicando a propriedade logaritmo de um produto à segunda equação, temos:

$log(2x-2) + log(3x-16) = log6\\log[(2x-2) . (3x-16)] = log6$

• Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação e reduzindo os termos, temos a seguinte equação final:

$log[(2x-2) . (3x-16)] = log6\\log[6x^{2} -32x-6x+32] = log6\\log[6x^{2} -38x+32] = log6$

• Aplicando a propriedade igualdade de logaritmos de mesma base, temos:

$6x^{2} -38x+32 = 6\\6x^{2}-38x+32-6 = 0\\6x^{2}-38x+26 = 0$

• Aplicando novamente a Fórmula de Bhaskara e resolvendo a equação de segundo grau:

$x=\frac{-(-38)+-\sqrt{(-38)^{2}-4.6.(26) } }{2.6}\\x=\frac{38+-\sqrt{820 } }{12}$

• Calculando os valores de x₁ e x₂, temos:

$x_{1} =\frac{38+\sqrt{820 } }{12}\\\\x_{2} =\frac{38-\sqrt{820 } }{12}$

x₁ = 5,553 (valor aproximado)

x₂ = 0,780 (valor aproximado)

O valor encontrado para x₂ impõe um logaritmando < 0, o que inviabiliza a igualdade log(2x-2) + log(3x-16) = log6.

Portanto, apenas x₁ = 5,553 (valor aproximado) é uma resposta possível para x, na equação logarítmica proposta no segundo caso.

Para saber mais sobre propriedades dos logaritmos e cálculos de equações logarítmicas, acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/26989137

https://brainly.com.br/tarefa/26989137

https://brainly.com.br/tarefa/50715801

Para conhecer o fundamento da Fórmula de Bhaskara, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/21167222

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