Question

O valor de n! =90 (n-2)! É?

Answer 1

Temos uma equação fatorial.

$n!~=~90\cdot(n-2)!\\\\\\\dfrac{n!}{(n-2)!}~=~90$

Utilizando a definição de fatorial, podemos reescrever n! como:

$\dfrac{n\cdot(n-1)\cdot(n-2)!}{(n-2)!}~=~90$

Simplificando o termo (n-2)! do numerador com o (n-2)! do denominador, ficamos com:

$\dfrac{n\cdot(n-1)\cdot1}{1}~=~90\\\\\\n\cdot(n-1)~=~90$

Note que a equação fatorial foi "transformada" em uma equação algébrica de 2° grau. Vamos resolve-la utilizando Bhaskara:

$n\cdot(n-1)~=~90\\\\\\n^2-n~=~90\\\\\\\boxed{n^2-n-90~=~0}\\\\\\\Delta~=~(-1)^2-4\cdot1\cdot(-90)~=~1+360~=~\boxed{~361~}\\\\\\n~=~\dfrac{1\pm\sqrt{361}}{2\cdot1}~=~\dfrac{1\pm19}{2}~~~\rightarrow~~\left\{\begin{array}{ccc}n'&=&10\\\\n''&=&-9\end{array}\right.$

Cuidado! Esta ainda não é a resposta.

Lembre-se que x' e x'' satisfazem a equação algébrica encontrada a partir da equação fatorial, ou seja, precisaremos verificar se x' e x'' também satisfazem a equação fatorial.

$\underline{Para~~n=n'=10}:\\\\\\10!~=~90\cdot(10-2)!\\\\\\10!~=~10\cdot9\cdot(8)!\\\\\\10!~=~10!~~\boxed{\checkmark}\\\\\\\\\underline{Para~~n=n''=-9}:\\\\\\(-9)!~=~90\cdot(-9-2)!~~\boxed{\times}$

Não temos, nos Reais, fatorial de números negativos e, sendo assim, o único valor que satisfaz a equação fatorial é n = 10