Question

O valor de k para que a equação ײ + 2√3× + k = 0 possua duas raízes reais e iguais é:

a) 3

b) √3

c) - 3

d) 2√3

Answer 1

Olá.

Antes de desenvolver, é importante ter em mente que buscamos um valor para k que retorne "duas raízes reais e iguais". Para conseguir duas raízes iguais, o discriminante (∆) tem que ser igual a zero. Assim sendo, vamos desenvolver o discriminante, tendo em mente que os coeficiente são:

a = 1;
b = 2√3;
c = k;

$\mathsf{\Delta=b^2-4ac}\\\\\mathsf{0=(2\sqrt3)^2-4\cdot(1)\cdot(k)}\\\\\mathsf{0=[(2)^2\cdot(\sqrt3)^2]-4k}\\\\\mathsf{0=[4\cdot3]-4k}\\\\\mathsf{0=12-4k}\\\\\mathsf{-12=-4k}\\\\\mathsf{k=\dfrac{-12}{-4}=3}$

Com isso, temos que a resposta correta está na alternativa B.

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Para provar que a resposta está correta, demonstro as possíveis raízes com Bháskara. Teremos:

$\mathsf{x=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}}\\\\\\\mathsf{x=\dfrac{-2\sqrt3\pm\sqrt0}{2\cdot1}}\\\\\\\mathsf{x=\dfrac{-2\sqrt3\pm0}{2}}$

As raízes possíveis são:

$\mathsf{x_1=\dfrac{-2\sqrt3+0}{2}=-\sqrt3}\\\\\\\mathsf{x_2=\dfrac{-2\sqrt3-0}{2}=-\sqrt3}$

Qualquer dúvida, deixe nos comentários.
Bons estudos.