Question

O valor de a para que u = (2, a, -1) seja combinação linear dos vetores v = (1, 0, 2) e w = (1, 1, 1) é:

Answer 1

Escrevendo $\mathsf{\overrightarrow{\mathsf{u}}}$ como combinação linear de $\mathsf{\overrightarrow{\mathsf{v}}}$ e $\mathsf{\overrightarrow{\mathsf{w}}}$:

     $\mathsf{\overrightarrow{\mathsf{u}}=\alpha\overrightarrow{\mathsf{v}}+\beta\overrightarrow{\mathsf{w}}}$

     $\mathsf{(2,a,-1)=\alpha\cdot(1,0,2)+\beta\cdot (1,1,1)}$

     $\mathsf{(2,a,-1)=(\alpha,0,2\alpha)+(\beta,\beta,\beta)}$

     $\mathsf{(2,a,-1)=(\alpha+\beta,\beta,2\alpha+\beta)}$


Agora podemos montar um sistema, uma vez que existe uma igualdade entre abcissa ordenada e cota

     $\left\{\! \begin{array}{rcrcrcrc} \mathsf{\alpha}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{\beta}&\!\!\!=\!\!\!\!\!\!&\mathsf{2}&\!\!\!&\mathsf{(i) }\\\\\mathsf{\beta}&\!\!\!=\!\!\!&\mathsf{a}&&&\!\!\!\!\!\!&\mathsf{(ii) }\\\\\mathsf{2\alpha}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{\beta}&\!\!\!=\!\!\!&\mathsf{-1}&\!\!\!\!\!\!&\mathsf{(iii)} \end{array} \right.$


Escrevendo a matriz ampliada e escalonando

     $\begin{array}{cc} \mathsf{\begin{bmatrix}1&1&2\\\\0&1&a\\\\2&1&-1\end{bmatrix}}\quad&\quad\begin{array}{l} \mathsf{L_3\Leftarrow L_3-2L_1} \end{array} \end{array}$

     $\begin{array}{cc} \mathsf{\begin{bmatrix}1&1&2\\\\0&1&a\\\\0&-1&-5\end{bmatrix}}\quad&\quad\begin{array}{l}\mathsf{L_3 \Leftarrow -L_3} \end{array} \end{array}$

     $\begin{array}{cc} \mathsf{\begin{bmatrix}1&1&2\\\\0&1&a\\\\0&\ 1&\ 5\end{bmatrix}}\quad&\quad\begin{array}{l} \end{array} \end{array}$


Escrevendo novamente como sistema linear

     $\left\{\! \begin{array}{rcrcrcrc} \mathsf{\alpha}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{\beta}&\!\!\!=\!\!\!\!\!\!&\mathsf{2}&\!\!\!&\mathsf{(iv) }\\\\&\!\!\!&\mathsf{\beta}&\!\!\!=\!\!\!\!\!\!&\mathsf{a}&&\mathsf{(v) }\\\\\mathsf{\ }&\!\!\!\!\!\!&\mathsf{\beta}&\!\!\!=\!\!\!&\mathsf{5}&\!\!\!\!\!\!&\mathsf{(vi)} \end{array} \right.$


Substituindo (vi) em (v), vem:

     $\mathsf{a=5\quad \rightarrow\quad}\textsf{essa \'e a resposta}$


Bons estudos! =)