Question

O valor da região limitada pelas retas y=0, x =-1, x=3 e pela curva y= x2 + 1 e:​

Answer 1

Resposta:

-1  a 3 ∫  x² + 1 dx

-1  a 3 [x³/3 +x]

A =3³/3 +3 -[(-1)³/3 -1]

A = 9 +3 -(-1/3-1)

A=12 - (-4/3)

A=12 +4/3 =(36+4)/3 = 40/3 u.a.

Answer 2

Temos a seguinte função:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{y = x {}^{2} + 1}$

• Limites de integração:

Para encontrar a área formada entre as funções y = x² + 1 e y = 0, devemos usar o artifício chamado integral. Normalmente a primeira coisa seria a busca dos limites da área, mas a questão já nos fornece e são x = -1 e x = 3.

• Integral da área:

Agora vamos montar a integral que representa essa área. Essa integral terá a seguinte estrutura:

$\: \: \: \: \: \: \boxed{A = \int_{ a}^{b}(f(x ) - g(x))dx }$

Sendo f(x) a função que se encontra acima, g(x) a função que se encontra abaixo e "a" e "b" os limites de integração da área. Com a ajuda de algum software ou manualmente, você pode montar um esboço de gráfico, fazendo isso, você vai notar que a função de cima é y = x² + 1 e a funcão de baixo y = 0, logo:

$A = \int_{ - 1}^{3}x {}^{2} + 1 - 0 \: dx \longrightarrow A = \int_{ - 1}^{3}x {}^{2} + 1 \: dx$

• Integração da função:

Agora você pode esquecer os limites de integração (momentaneamente) e fazer o cálculo sem os envolver esses limites:

$A = \int_{}^{}x {}^{2} + 1 \: dx \to A = \int x {}^{2} dx + \int 1 \: dx \\ \\ \boxed{ A = \frac{x {}^{3} }{3} + x \bigg |_{ - 1}^{3}}$

• Teorema da Variação (TFC):

Por fim, basta aplicar o Teorema fundamental do cálculo e encontrar o valor numérico da área:

$A = \frac{3 {}^{3} }{3} + 3 - \left( \frac{( - 1) {}^{3} }{3} - 1\right) \\ A = 9 + 3 + \frac{1}{3} + 1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ A = \frac{39 + 1}{3} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \boxed{A = \frac{40}{3} \: u.a.} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Espero ter ajudado