Question

O valor da integral indefinida f tan xdx ​

Answer 1

Resposta:

Olá boa tarde.

Das relações trigonométricas:

$tan(x) = \frac{sen(x)}{cos(x)}$

Daí:

$\int\limits {tan(x)} \, dx =\int\limits {\frac{sen(x)}{cos(x)} } \, dx$

Fazendo:

u = cos x

A derivada de cos(x) é -sen(x). Então:

du / dx = -sen(x)

dx = du / -sen(x)

Reescrevendo a integral:

$\int\limits {\frac{sen(x)}{u} } \, *\frac{du}{-sen(x)}$

$\int\limits{-\frac{du}{u} } \,$

$-\int\limits {\frac{du}{u} } \, = - ln |u| + c$

Como:

u = cos (x)

Então:

$\int\limits {tan(x)} \, dx \\\\=-ln *|cos(x)| + C$

Answer 2

1° Vamos desenvolver a integral, com um teorema da tangente:

$∫ \tan(x) dx$

$∫ \frac{ \sin(x) }{ \cos(x) } dx$

2° Usando que t = cos(x), com o intuito de trocar a variável x, vamos transformá-la:

$∫ - \frac{ 1 }{t } dt$

3° Use a propriedade da integral:

$∫ f(x) dx = - ∫ f(x) dx$

$- ∫ \frac{ 1 }{t } dt$

4° Desenvolva a expressão anterior com a propriedade:

$- ln( |t| )$

5° Retorne com a substituição t = cos(x):

$- ln( | \cos(x) | )$

6° Faça a soma da constante de integração C ∈ ℝ, logo essa é a resposta:

$- ln( | \cos(x) | ) + C ,C ∈ ℝ$

Bons estudos! ☄️