Question

O valor da integral ʃπ0 sen x cos x dx é.

Answer 1

Temos a seguinte integral definida:

$\int\limits^0_ \pi {sen(x)*cos(x)} \, dx$

Usando integral por substituição, encontramos a integral indefinida:

$\int\limits {f(g(x))* g'(x)} \, dx = \int\limits {f(u)} \, du~, ~u = g(x) \\ \\ u = sen(x) \\ \\ du = cos(x)*dx$

Logo:

$\int\limits {sen(x)*cos(x)} \, dx = \int\limits {u} \, du \\ \\ \\ \int\limits {u} \, du=\dfrac{u^{1+1}}{1+1} = \dfrac{u^2}{2} = \dfrac{sen^2(x)}{2} +C$

Logo temos que a integral definida é:

$= \int\limits^0_ \pi {\dfrac{sen^2(x)}{2}} \, dx \\ \\ \\ = \left (\dfrac{sen^2(x)}{2} \right )^0_ \pi \\ \\ \\ = \left (\dfrac{sen^2(0)}{2} - \dfrac{sen^2( \pi )}{2} \right ) \\ \\ = 0-0 \\ \\ = 0$

Answer 2

Resposta Correta seria: 0