Question

O valor da expressão y = i + i2 + i3 + ... + i1001 é:

Answer 1

$y=i+i^{2}+i^{3}+...+i^{1001}$

Essa soma é a soma de termos de uma P.G

$P.G~(i,~i^{2},~i^{3},...,i^{1001})\\\\a_{1}=i\\a_{2}=i^{2}$

Calculando a razão da P.G:

$q=\dfrac{a_{2}}{a_{1}}=\dfrac{i^{2}}{i}=i$

Achando a posição do termo i¹ºº¹ na P.G:

$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}\\i^{1001}=i\cdot i^{n-1}\\i^{1001}=i^{n}\\n=1001$
_________________________

y é a soma dos 10001 primeiros termos dessa P.G:

$y=S_{11}\\\\\\y=\dfrac{a_{1}(q^{1001}-1)}{q-1}\\\\\\y=\dfrac{i(i^{1001}-1)}{i-1}\\\\\\y=\dfrac{i^{1002}-i}{i-1}$

Para tirar (i - 1) do denominador, multiplicaremos o numerador e o denominador por (i + 1)

$y=\dfrac{(i^{1002}-i)(i+1)}{(i-1)(i+1)}\\\\\\y=\dfrac{i^{1003}+i^{1002}-i^{2}-i}{i^{2}-1^{2}}\\\\\\y=\dfrac{i^{1003}+i^{1002}+1-i}{-1-1}\\\\\\y=\dfrac{-(i^{1003}+i^{1002}+1-i)}{2}$

i¹ºº³ ---> dividindo o expoente por 4, temos quociente 250 e resto 3, logo:
i¹ºº³ = i³ = -i

i¹ºº² = i¹ºº³ / i = -i/i = -1

Substituindo:

$y=\dfrac{-(-i-1+1-i)}{2}\\\\\\y=\dfrac{-(-2i)}{2}\\\\\\y=\dfrac{2i}{2}\\\\\\y=i$

$\boxed{\boxed{y=i+i^{2}+i^{3}+...+i^{1001}=i}}$

Answer 2

A cada 4 repetições vamos ter que a soma da zero, provando isso

$i^1=i\\i^2=-1\\i^3=-i\\i^4=1$

então a cada 4 repetições temos a soma de 0, então, se temos

$y=\sum\limits_{n=1}^{1001}i^n$

é só pegar o maior valor e dividir por 4, o resto será o valor do expente

$\frac{1001}{4}=250+\frac{1}{4}$

Então teremos 250 somas que darão zero (0) e um outro valor que não dará zero

$\boxed{y=250*0+i^1=i}$