Question

O triângulo $ABC$ da figura abaixo é retângulo em $A$.O segmento $AC$ mede $3$ e o segmento $BD$ mede $\dfrac{1}{3}$ do segmento $BC$.A área do triângulo $ABD$ é $2$.Nestas condições, determine a medida da hipotenusa do triângulo $ABC$.

Answer 1

Olá, Vivi !

Os triângulos $ADC$ e $ADB$ têm a mesma altura relativa às bases $CD$ e $BD$.

Isto significa que a razão entre suas áreas é proporcional à razão entre suas bases.

Pelo enunciado, $BD=\dfrac{BC}{3}$. Assim, $CD=BC-BD=\dfrac{BC}{2}$ e obtemos $\dfrac{CD}{BD}=2$.

Seja $S$ a área do triângulo $ADC$. Como a área do triângulo $ADB$ é $2$, temos $\dfrac{S}{2}=\dfrac{CD}{BD}$.

Lembrando que, $\dfrac{CD}{BD}=2$, obtemos $\dfrac{S}{2}=2$, donde, $S=4$.

Desse modo, a área do triângulo $ABC$ é $6$. Como $AC=3$, temos $\dfrac{2\cdot AB}{2}=6$ e obtemos $AB=4$.

Pelo Teorema de Pitágoras, $BC=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$.

Espero ter ajudado ^^