Question

O triângulo AOB é isósceles, com OA = OB, e ABCD é um quadrado. Sendo u a medida do ângulo A ^ O B, pode-se garantir que a área do quadrado é maior do que a área do triângulo se: Dados os valores

Answer 1

Olá! Bom, vamos lá! 

Vamos primeiro desenhar o quadrado ABCD com AB e cima e CD na parte de baixo.

O triângulo AOB vai estar em cima do quadrado (tendo em comum o lado AB) e o ponto O estaria no topo.

Sendo assim podemos pensar que 
OA = OB = L e AB = a

Assim teremos:

AÔB = θ 

 OÂB = O^BA = 90º - θ/2

L.cosOÂB = a/2

L.cos(90º - θ/2) = a/2 

 L.sen(θ/2) = a/2 

a = 2.L.sen(θ/2) 

 a² = 4.L².sen²(θ/2)

Assim vamos calcular:

Área de AÔB : St = L².senθ/2 - I

Área de ABCD : Sq = a² 

 Sq = 4.L².sen²(θ/2)

Sq > St : 4.L².sen²(θ/2) > L².senθ/2 

 4.sen²(θ/2) > 2.sen(θ/2).cos(θ/2)/2

4.sen(θ/2) > cos(θ/2)

sen(θ/2)/cos(θ/2) > 1/4

E por fim:

tg(θ/2) > 1/4

tgθ = 2.tg(θ/2)/[1 - tg²(θ/2)] 

tgθ = 2.(1/4)/[1 - (1/4)²]

tgθ = 8/15 

tgθ = 0,533

Espero ter ajudado!