Question

O triângulo ABC, na imagem abaixo, possui o lado AB = 50 cm e o lado CB = 30 cm. Sabendo que o ângulo C = 60°, qual é sua área aproximada? (considere √3 = 1,7 e sen31° = 0,51).

Answer 1

Área de um triângulo

• Como calcular a área de um triângulo ?

Podemos calcular a área de um triângulo através das seguinte relações.

$1) A_t= \frac{B.A.Sen(\alpha)}{2}$

onde: B e A São os lados do triângulo e $\alpha$ o ângulo entre esses lados.

2) Fórmula de heron :

$A_t = \sqrt{p.(p-a).(p-b).(p-c)}$

Onde: $p$ é o semiperímetro desse triângulo e $a,b,c$ os lados desse triângulo.

3)  $A_t = \frac{b.H}{2}$

onde : b é a base do triângulo e h é a altura do triângulo.

Observando o triângulo, será mais fácil fazer pela primeira fórmula

$A_t= \frac{B.A.Sen(\alpha)}{2}$

Podemos resolver de duas formas.

1ª forma de resolver

Note que podemos usar a primeira fórmula para os lados CB e BA, ficando da seguinte forma.

$A_t = \frac{50.30.Sen(\alpha)}{2}$

Sendo $\alpha$ o ângulo entre esses lados. Só precisamos achar esse ângulo..

A questão destacou o ângulo x por algum motivo, então vamos fazer lei dos senos e descobrir o Sen(x)

$\frac{CB}{Sen(x)} = \frac{AB}{Sen(60) }$

$\frac{30}{Sen(x)} = \frac{50}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Isolando Sen(x) :

$\frac{30.\sqrt{3}}{2.50} = Sen(x)$

considerando $\sqrt{3} = 1,7$, temos :

$\frac{30.1,7}{2.50} = Sen(x)$

$Sen(x) = 0,51$

A questão nos informa o Sen(31) = 0,51, logo o nosso ângulo x vale 31º.

Então podemos descobrir o ângulo $\alpha$ (ângulo em B).Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo vale 180º,  vamos fazer :

$31+60+\alpha = 180$

$\alpha + 91 = 180$

$\alpha = 89$

Agora vamos voltar lá fórmula e substituir :

$A_t = \frac{30.50.Sen(89)}{2}$

Precisamos achar o valor de Sen(89), mas isso é tranquilo. A questão pede o valor aproximado da área, então podemos aproximar o valor do Sen(89)

Sabendo que :

$Sen(90) = 1$, note que $Sen(89)$ é quase 90.. então podemos aproximar da seguinte forma

$Sen(89) \approx Sen(90) \approx 1$

Então vamos substituir na fórmula :

$A_t = \frac{30.50.Sen(89)}{2}$

$A_t \approx \frac{30.50.1}{2}$  

$A_t \approx \frac{1500}{2}$

$A_t \approx 750cm^2$

Letra C

2ª forma de resolver

$A_t= \frac{B.A.Sen(\alpha)}{2}$

No caso, $b = AC$ e $A = 50$ e $\alpha = x$

substituindo :

$A_t = \frac{AC.50.Sen(x) }{2 }$

Precisamos achar o ângulo x e o lado AC para resolvermos.  

Primeiro vamos achar o ângulo x usando lei dos senos :

$\frac{CB}{Sen(x)} = \frac{AB}{Sen(60) }$

$\frac{30}{Sen(x)} = \frac{50}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Isolando Sen(x) :

$\frac{30.\sqrt{3}}{2.50} = Sen(x)$

considerando $\sqrt{3} = 1,7$, temos :

$\frac{30.1,7}{2.50} = Sen(x)$

$Sen(x) = 0,51$

então a fórmula fica assim :

$A_t = \frac{AC.50.0,51 }{2 }$

Agora Vamos achar o lado AC usando Lei dos cossenos:

$AB^2 = CB^2 + AC^2 -2.CB.AC.Cos(60)$

$50^2 = 30^2 + AC^2 -2.30.AC.\frac{1}{2}$

$2500 -900 = AC^2 - 30.AC$

$1600 = AC^2 -30.AC$

$AC^2 - 30.AC - 1600 = 0$

Usando bhaskara para resolver :

$AC = \frac{-(-30)\pm \sqrt{(\Delta)}}{2.1 }$

Vamos achar o delta separadamente :

$\Delta = 30^2 -4.1.(-1600)$

$\Delta = 900 + 6400$

$\Delta = 7300$

Note que precisaremos tirar a raiz quadrada do $\Delta$, então vamos tirar aqui e depois só substituir :

$\sqrt{\Delta } = \sqrt{7300}$

$\sqrt{\Delta } = \sqrt{73.100} = \sqrt{73} .\sqrt{100}$

$\sqrt{\Delta} = 10.\sqrt{73}$

73 é um número primo e não tem raiz exata, mas perceba o seguinte :

$\sqrt{64} = 8$ e $\sqrt{81} = 9$, então $9>\sqrt{73}>8$ ,  então vamos aproximar $\sqrt{73}$ para 8,5.

Sendo assim :

$\sqrt{\Delta} = 10.\sqrt{73}$

$\sqrt{\Delta} \approx 10.8,5 \approx 85$  

Voltando na fórmula de bhaskara e substituindo :

$AC = \frac{-(-30)\pm \sqrt{(\Delta)}}{2.1 }$

$AC = \frac{30\pm85}{2 }$  

A parte negativa não convém, já que AC é uma distância, então vamos pegar só a parte positiva

$AC = \frac{30+85}{2 }$

(lembrando que aproximamos a raiz de 17, então vamos trocar o símbolo de igual  para o simbolo de aproximado )

$AC \approx \frac{115}{2}$

$AC \approx 57,5$

Agora vamos voltar na fórmula da área e substituir :

$A_t = \frac{AC.50.0,51 }{2 }$

$A_t \approx \frac{57,5.50.0,51}{2}$

$A_t \approx 733,125cm^2$

Observando as alternativas o valor mais próximo é 750cm², que se encontra na alternativa c.

Comentário:

Você pode fazer das duas formas, sem problema algum.. mas se tratando de tempo a 1ª forma é mais rápida, no entanto você teria que ter aquela visão que se $Sen(90) = 1$ podemos aproximar $Sen(89) \approx 1$.

Qualquer dúvida é só falar.