Question

O triângulo abc está escrito numa circunferência de raio 5 cm sabe se que A e B são esxtremidades de um diâmetro e que acorda BC mede 6 cm Então a do triângulo ABC , em cm2ª, vale

Answer 1

(Fuvest/94)  O  triângulo ABC  está  inscrito  numa circunferência  de  raio  5  cm.  Sabe-se  que A  e B  são extremidades de um diâmetro e que a corda BC mede 6 cm. Então a área do triângulo ABC, em cm², vale:

a) 24

b) 12

c) $\textstyle \sf \text { \sf 5\:\dfrac{ \sqrt{3} }{2} }$

d) $\textstyle \sf \sf 6\sqrt{2}$

e) $\textstyle \sf \sf 2\sqrt{3}$

A partir dos devidos cálculos realizados, chegamos na conclusão de que a área do triângulo ABC, em cm², vale A = 24 cm^2 e tendo alternativa correta é letra A.

Dados um círculos de centro O e uma corda AB que é o diâmetro da

circunferência. Sendo C um ponto que distinto A e de B.

$\Large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{A\hat{C} B = \dfrac{1}{2}\cdot 180^\circ = 90^\circ } } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf r = 5 \: cm \\ \sf AB = 10\: cm \\ \sf BC = 6\: cm \\ \sf A_{\triangle} = \:?\: cm^2 \end{cases} } }$

Primeiramente, devemos calcular o valor do segmento AC, usando o teorema de Pitágoras.

$\Large \displaystyle \mathsf{ \left( AB \right)^2 = \left( BC \right)^2 + \left( AC \right)^2 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ \left( 10 \right)^2 = \left(6 \right)^2 + \left( AC \right)^2 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 100 = 36+ \left( AC \right)^2 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 100 - 36 = \left( AC \right)^2 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 64 = \left( AC \right)^2 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ AC = \sqrt{64} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf AC = 8\: cm }$

Área de um triângulo em função das medidas dos lados e da medida do raio da circunferência circunscrita:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{A_{\triangle} = \dfrac{(AB) \cdot (BC) \cdot (AC)}{4 \cdot r} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{A_{\triangle} = \dfrac{ \diagup\!\!\!{ 10} \:{}^{ 2 } \: cm \cdot 6\: cm \cdot \diagup\!\!\!{ 8} \:{}^{ 2 } \: \diagup\!\!\!{ cm} }{ \diagup\!\!\!{ 4} \:{}^{ 1 } \cdot \diagup\!\!\!{ 5} \:{}^{ 1 } \: \diagup\!\!\!{ cm} } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{A_{\triangle} = 2\: cm \cdot 6\: cm \cdot 2 } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf A {\triangle} = 24\: cm^2 }$

Alternativa correta é a letra A.

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