Question

O triângulo ABC é retângulo em A. Seja Y= ABC . Sabe-se que a hipotenusa BC mede 20 e que tg(y) = 3/4.


Quanto mede o cateto AB?

Answer 1

O cateto AB mede 12 unidades de comprimento.

Para realizar este exercício vamos utilizar o teorema de Pitágoras e a relação trigonométrica da tangente.

Relação entre os catetos e a hipotenusa

Em um triângulo retângulo (triângulo da geometria plana que tem um dos ângulos retos, ou seja, igual à 90º) temos que o quadrado da sua hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto) equivale a soma do quadrado de seus catetos (os outros dois lados) de forma que:

AB² + AC² = BC²

AB² + AC² = 20²

AB² + AC² = 400

AC² = 400 - AB²

AC = ±√(400 - AB²)

Como AC é um comprimento então assumiremos somente a solução positiva desta radiciação:

AC = √(400 - AB²)

Tangente

Para um triângulo retângulo sabemos que a tangente de um ângulo equivale à razão entre o cateto oposto a este ângulo pelo cateto adjacente a este ângulo. Tomemos o ângulo γ. Dele temos que:

tg (γ) = AB / AC

Sabemos também que tg (γ) = 3/4, ou seja:

3/4 = AB / AC

Da relação anterior temos que:

3/4 = AB / √(400 - AB²)

(3/4)² = (AB / √(400 - AB²))²

9/16 = AB² / 400 - AB²

3.600 - 9AB² = 16AB²

25AB² = 3.600

AB² = 3.600 / 25

AB² = 144

AB = ±√144

AB = ±12

Como AB é um comprimento então assumiremos somente a solução positiva desta radiciação:

AB = 12

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#SPJ1