Question

O triangulo ABC é retângulo em A. Sabe-se que a soma das medidas dos lados deste
triangulo é 96 e que a medida de AB é a média aritmética das medidas dos outros dois
lados. A medida da hipotenusa é um número inteiro cuja soma dos algarismos é
a) 3.
b) 4.
c) 6.
d) 7.
e) 8.​

Answer 1

Se o triângulo é retângulo em A, então AB e AC são seus catetos e BC é sua hipotenusa. Vamos indicar as medias dos catetos por b e c, respectivamente. a será a medida da hipotenusa. Temos as seguintes informações no enunciado:

A soma das medidas dos lados é 96:

a+b+c = 96

A medida de AB é a média aritmética das medidas do outros lados:

c = (a+b)/2 ⇒ 2c = a+b

Além disso, temos o teorema de pitágoras:

a²  = b²+c²

Precisamos apenas resolver o sistema e achar o valor de a:

a+b+c = 96

a+b = 2c

a² = b² + c²

Substituindo a segunda equação na primeira, obtemos

2c + c = 96  ⇒ c = 32

Com isso, o sistema torna-se:

a+b = 64

a²-b² = 32² = 1024

Como (a+b)(a-b) = a²-b², combinando essas duas últimas equações obtemos

a-b = 1024 / 64 = 16

Logo, 2a = 64+16  ⇒ a = 40

Assim, a soma dos algarismos da hipotenusa do triangulo ABC é 4+0=4

Edit:

Uma outra maneira é pensar o seguinte:

Dizer que um lado é media aritmetica dos outros é o mesmo que dizer que os lados estão em PA. Assim, os lados sao x-r, x, x+r. Como a soma dos lados é 96, segue que x = 32. Isso aliado ao teorema de pitagoras da r = 8. Assim os lados sao 24, 32 e 40.