Question

o teste final do 9 abo de um colegio é composto por 10 questões de múltipla escolha, com cinco alternativas em cada questão (A, B, C, D e E), e cada alubo deve marcar uma única alternativa por questão. Quantos são os gabaritos possíveis para o teste nos quais a alternativa A aparece duas vezes? Obs: O gabarito diz que é 10! . 8^4/2!. Preciso saber a resolução. Obg :)

Answer 1

Olá Gabriela, não consegui entender o gabarito, pois o resultado dessa expressão dá 7.431.782.400, que é um número muito maior do que o espaço amostral.
Cada questão possui cinco alternativas.
Logo, 5.5.5.5.5.5.5.5.5.5, ou 5^10= 9.765.625 seriam todos os gabaritos possíveis.

Se a alternativa A precisa aparecer apenas 2 vezes, devemos considerar que 8 das 10 questões podem ter apenas as letras B,C,D ou E como gabarito, e as outras 2 questões, o  A.
Então, 1.1.4.4.4.4.4.4.4.4 ou 4^8.
Repare que eu apenas considerei as duas primeiras questões como as que possuem a letra A como gabarito. Agora devemos calcular todas as outras possibilidades, pois 2 questões quaisquer das 10 podem ter o A como gabarito.

Então, calculando as posições dos dois A's
O primeiro pode estar em qualquer das 10 questões
O segundo pode estar em qualquer das 9 questões que sobraram.
Por isso, 10.9= 90
Devemos fazer a multiplicação 4^8 . 90 = 65536 . 90= 5.898.240

Sou apenas um estudante de Administração, essa parte de análise combinatória está longe de ser minha especialidade, porém eu já tive várias aulas de probabilidade e, ao meu ver, esse é um dos raciocínios para resolver a questão.