Question

O terceiro e o sétimo termos de uma progressão geométrica valem, respectivamente, 10 e 40. Sabendo que a razão dessa P.G. é positiva, então o quinto termo dessa progressão é:

Answer 1

• O que é uma progressão geométrica?

É aquela em que seus termos, do segundo em diante, é igual ao produto do termo anterior por uma constante q, chamada de razão.

Logo, o termo geral para os elementos de uma progressão geométrica é dado por

$a_n=a_1~.~q^{(n-1)}$

• Resolvendo o problema

Do enunciado, temos

$a_3=a_1~.~q^{(3-1)}\\\\10=a_1~.~q^2\\\\a_1=\dfrac{10}{q^2}\\\\\\a_7=a_1~.~q^{(7-1)}\\\\40=a_1~.~q^6\\\\a_1=\dfrac{40}{q^6}$

Igualando as duas expressões

$\dfrac{10}{q^2}=\dfrac{40}{q^6}\\\\10~.~q^6=40~.~q^2\\\\\dfrac{q^6}{q^2}=\dfrac{40}{10}\\\\q^4=4\\\\\sqrt{q^4}=\sqrt{4}\\\\q^2=2\\\\q=\pm \sqrt{2}$

Como o enunciado diz que a razão é positiva, então $q=\sqrt{2}$ e, portanto,

$a_3=a_1~.~(\sqrt{2})^{(3-1)}\\\\10=a_1~.~(\sqrt{2})^{2}\\\\10=a_1~.~2\\\\a_1=\dfrac{10}{2}\\\\a_1=5\\\\\\a_5=a_1~.~(\sqrt{2})^{(5-1)}\\\\a_5=5~.~(\sqrt{2})^{4}\\\\a_5=5~.~((\sqrt{2})^{2})^2\\\\a_5=5~.~2^2\\\\a_5=5~.~4\\\\\boxed{\boxed{a_5=20}}$

• Para saber mais

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