O tampo de vidro de uma mesa quebrou-se e deverá ser substituído por outro que tenha a forma de círculo. O suporte de apoio da mesa tem o formato de um prisma reto, de base em forma de triângulo equilátero com lados medindo 30 cm.
Uma loja comercializa cinco tipos de tampos de vidro circulares com cortes já padronizados, cujos raios medem 18 cm, 26 cm, 30 cm, 35 cm e 60 cm. O proprietário da mesa deseja adquirir nessa loja o tampo de menor diâmetro que seja suficiente para cobrir a base superior do suporte da mesa.
Considere 1,7 como aproximação para √3.
O tampo a ser escolhido será aquele cujo raio, em centímetros, é igual a
a)18
b)26
c)30
d)35
e)60
Soluções para a tarefa
Resposta:
O raio concêntrico de uma circunferência em um triângulo equilátero é dado por:
Onde:
L = 30 cm
√3 = 1,7
===
Raio = 17 cm
====
Como não há essa medida, buscamos valor mais próximo = 18 cm.
====
Resposta:
A) 18 cm
Resposta:
a)
Explicação passo-a-passo:
O problema pede que calculemos o raio de um círculo de vidro que será usado como tampo para uma mesa, cujo suporte é um prisma de base triangular(figura 1), e o tampo deve ter o tamanho mínimo para cobrir o prisma, portanto teremos um triângulo equilátero(diz na questão) inscrito em uma circunferência(figura 2).
Observe que podemos fazer um triângulo dentro do maior a partir do centro da circunferência, e ele terá como ângulo central 120º(pode-se ver isto por arcos), extraindo o triângulo menor de dentro(figura 3), agora temos os seguintes dados:
Área do triângulo grande=Ag= b*h/2 onde h²+ 15²=900 ⇒ h=√675=15√3 (figura 4)
Ag=(225√3)/2
Área do triangulo menor= Am=b*h/2, b=15 (figura 3)
sen 30º=h/r
1/2=h/r ⇒h=r/2
Am=(r/2*15)/2=15r/4
o triangulo menor tem 1/3 da área do triângulo maior= Am=Ag/3
15r/4=(225√3)/6 (dividindo os dois lados por 15)
r/4=(15√3)/6
r=(60√3)/6
r=10√3
r=17.
Ou seja, o comprimento mínimo do raio para cobrir o suporte é 17, ou seja, qualquer valo acima disso cobrirá o suporte, mas ele quer o menor, que no caso é 18.
