Question

O “Superacks” fez uma aplicação financeira de R$100.000,00 reais durante 16 meses que resultou num montante de R$ 148.450,60.

Durante este período a taxa de inflação foi de 1% nos primeiros 7 meses, 2% nos 6 meses seguintes e de 2,5% nos últimos 3 meses.

Intrigado sobre o efeito exato que a inflação teve neste processo o “Superacks” pediu ao DanJR que lhe indicasse:

⇒ A Taxa Nominal Aparente anual
⇒ A Taxa Nominal Real anual

……considerando que a capitalização da aplicação foi mensal.



aviso aos "caçadores de pontos":

..todas as respostas ..só resultado ...sem sentido ..ou comentários ...ou troll serão eliminadas

Answer 1

Olá Manuel, boa tarde!!

PARTE I: determinando a "Taxa Nominal Aparente anual".

De acordo com o enunciado,

Capital (C): R$ 100.000,00
Prazo (n): 16 meses
Montante (M): R$ 148.450,60
Taxa efetiva (i): ?

$\\ \mathsf{M = C \cdot (1 + i)^n} \\\\ \mathsf{148450,60 = 100000 \cdot (1 + i)^{16}} \\\\ \mathsf{1 + i = \sqrt[16]{1,484506}} \\\\ \mathsf{1 + i \approx 1,025} \\\\ \mathsf{i \approx 0,025}$
 
 Ou seja, a taxa nominal capitalizada mensalmente é 2,5% a.m. Assim, a taxa nominal aparente anual é dada por:

$\\ \mathsf{i_a = i \cdot 12} \\\\ \mathsf{i_a \approx 0,025 \cdot 12} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{i_a \approx 0,3}}}$

 Isto é, aproximadamente, 30% a.a capitalizado mensalmente!!


PARTE II: determinando a taxa nominal real anual.

 Nesta parte da resolução, separei-a em três situações; segue:

- Nos 7 primeiros meses:

Capital (C): R$ 100.000,00
Prazo (n_1): 7 meses
Taxa (i): 2,5% a.m
Inflação (j): 1%
Taxa real (r): ?
Montante (M_1): ?
  
 Encontremos a taxa real desses meses iniciais do seguinte modo:

$\\ \mathsf{1 + r = \frac{1 + i}{1 + j}} \\\\ \mathsf{1 + r = \frac{1 + 0,025}{1 + 0,01}} \\\\ \mathsf{1 + r \approx 1,01485} \\\\ \mathsf{r \approx 0,01485}$

 Daí, temos:

$\\ \mathsf{M_1 = C \cdot (1 + r)^{n_1}} \\\\ \mathsf{M_1 \approx 100000 \cdot (1 + 0,01485)^7} \\\\ \boxed{\mathsf{M_1 \approx 110869,73}}$


- Nos 6 meses seguintes:

Capital (C): R$ 110869,73
Prazo (n_2): 6 meses
Taxa efetiva (i): 2,5% a.m
Inflação (j): 2%
Taxa real (r): ?
Montante (M_2): ?

  Encontremos a taxa real desses meses seguintes da seguinte forma:

$\\ \mathsf{1 + r = \frac{1 + i}{1 + j}} \\\\ \mathsf{1 + r = \frac{1 + 0,025}{1 + 0,02}} \\\\ \mathsf{1 + r \approx 1,00490} \\\\ \mathsf{r \approx 0,00490}$

 Daí, temos:

$\\ \mathsf{M_2 = C \cdot (1 + r)^{n_2}} \\\\ \mathsf{M_2 \approx 110869,73 \cdot (1 + 0,00490)^6} \\\\ \boxed{\mathsf{M_2 \approx 114169,21}}$


- Nos 3 meses finais:

Capital (C): R$ 114169,21
Prazo (n_3): 3 meses
Taxa efetiva (i): 2,5% a.m
Inflação (j): 2,5%
Taxa real (r): ?
Montante (M_3): ?

  Encontremos a taxa real desses meses finais:

$\\ \mathsf{1 + r = \frac{1 + i}{1 + j}} \\\\ \mathsf{1 + r = \frac{1 + 0,025}{1 + 0,025}} \\\\ \mathsf{1 + r = 1} \\\\ \mathsf{r = 0}$

 Daí,

$\\ \mathsf{M_3 = C \cdot (1 + r)^{n_3}} \\\\ \mathsf{M_3 \approx 114169,21 \cdot (1 + 0)^3} \\\\ \boxed{\mathsf{M_3 \approx 114169,21}}$

 Portanto, temos que o montante (real) no final dos 16 meses foi de, aproximadamente, R$ 114.169,21. Isto posto, encontramos a taxa real.

Capital (C): R$ 100.000,00
Prazo (n): 16 meses
Montante (M_r): R$ 114.169,21
Taxa (i_r): ?

$\\ \mathsf{M = C \cdot (1 + i)^n} \\\\ \mathsf{114169,21 \approx 100000 \cdot (1 + i_r)^{16}} \\\\ \mathsf{1 + i_r \approx \sqrt[16]{1,1416921}} \\\\ \boxed{\mathsf{i_r \approx 0,00832}}$

 Logo, concluímos que a taxa real é de aproximados 0,832% a.m capitalizado mensalmente. Entretanto, o exercício pede a taxa nominal real anual, então:

$\\ \mathsf{r=i_r\cdot12} \\\\ \mathsf{r \approx 0,00832 \cdot 12} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{r \approx 0,09984}}}$ 

Isto é, 9,984% a.a capitalizado mensalmente.

Answer 2

Taxa nominal e efetiva

Vamos aos conceitos!

• Taxa Nominal Aparente é aquela que não se considera os efeitos provocados pela inflação, porém a taxa não é compatível com o período dado para a capitalização. É quando, por exemplo, uma taxa de 5% ao ano possui capitalização mensal e não anual.

• Taxa Nominal Real é aquela em que se considera os efeitos da inflação e tem um período de aplicação diferente do período de capitalização.

• Taxa Efetiva Real é aquela que considera os efeitos da inflação e é dada durante todo um período de capitalização.

Precisamos de algumas fórmulas para calcular cada uma. Temos para;

Taxa Nominal Aparente Anual:

$ik = \frac{i}{k} \\ \\ i = ik \times k$

i: taxa nominal aparente

ik: taxa efetiva mensal

k: período em meses

Taxa Efetiva Real:

$1 + ief = (1 + ir) \times (1 + i \: inf)$

ief: efetiva

ir: real

inf: inflação

Taxa Efetiva:

Baseia-se no regime de capitalização composto.

$m = c \times (1 + i)^{n}$

m: montante

c: capital

i: taxa efetiva

n: período em meses

1. Cálculo da taxa efetiva:

$100000 \times (1 + if )^{16} = 148450.60 \\ \\ (1 + if)^{16} = 1,484506 \\ \\ 1 + if = \sqrt[16]{1.484506} \\ \\ if = 1.025 - 1 \\ \\ if= 0.025 \: am$

2. Cálculo da taxa nominal aparente anual:

$i = 0.025 \times 12 \\ \\ i = 0.3 \: aa$

$\boxed{\bold{i= 0,3 a.a}}$

3. Cálculo da taxa nominal real anual:

Primeiros 7 meses:

$1 + 0.025 = (1 + ir) \times (1 + 0.01) \\ \\ ir = \frac{0.015}{1.01} = 0.014851 \: am$

Seis meses seguintes:

$1 + 0.025 = (1 + ir) \times (1 + 0.02) \\ \\ 1.02ir = 1.025 - 1.02 \\ \\ ir = \frac{0.005}{1.02} = 0,004901 \: am$

Últimos 3 meses:

$1 + 0.025 = (1 + ir) \times (1 + 0.025) \\ \\ 1.025ir = 1.025 - 1.025 \\ \\ ir = 0$

Montante anual sem considerar os efeitos da inflação (REAL):

$m = c \times (1 + 0.014851)^{7} \times (1 + 0.004901)^{6} \\ \\ m = 100000 \times 1.108709 \times 1.029775 \\ \\ m = 114172,08 \: ou \: 114.172$

Basta aplicar novamente na fórmula dos juros compostos para encontrar a taxa efetiva real anual:

$m = c \times (1 + i)^{16} \\ \\ 100000 \times (1 + i)^{16} = 114172 \\ \\ (1 + i)^{16} = \frac{114172}{100000} \\ \\ 1 + i = \sqrt[16]{1.14172} \\ \\ i = 1.00832 - 1 = 0.00832$

Então a taxa nominal real anual será:

$0,00832 \cdot 12 =~$

$\boxed{\bold{0,09984}}$

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Bons estudos :)