Question

o sistema de equações  $\left \{ {{2^x ^+^m^y - log 2 = 0} \atop {Log2 ^m^x + log2^y^-^1 + Log2 ^m =0}} \right.$, é possivel e determinado para
A) m=1 ou m= -1;
B) m= -2;
C) m ≠ 1;
D) m ≠ -1
E) m ≠ -1 e m ≠ 1

Answer 1

$\begin{cases}2^{x+my}-log(2)=0\\log(2^{mx})+log(2^{y-1})+log(2^{m})=0\end{cases}$

Manipulando a primeira equação:

$2^{x+my}-log(2)=0\\2^{x+my}=log(2)$

Aplicando log nos dois lados da equação:

$log(2^{x+my})=log(log(2))\\(x+my)\cdot log(2)=log(log(2)\\\\\boxed{x+my=\dfrac{log(log(2))}{log(2)}}$
____

Agora, manipulando a segunda equação:

$log(2^{mx})+log(2^{y-1})+log(2^{m})=0\\log(2^{mx}\cdot2^{y-1}\cdot2^{m})=0\\log_{10}(2^{mx+y-1+m})=0$

Pela definição de logaritmos:

$mx+y-1+m=10^{0}\\mx+y-1+m=1\\mx+y=1+1-m\\\\\boxed{mx+y=2-m}$
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Então, temos o seguinte sistema:

$\begin{cases}x+my=\dfrac{log(log(2))}{log(2)}\\\\mx+y=2-m\end{cases}$

Que é um sistema linear.

Um sistema linear escrito da forma

$\begin{cases}a_{1}x+b_{1}y=c_{1}\\a_{2}x+a_{2}y=c_{2}\end{cases}$

é Possível e determinado se:

$\boxed{\boxed{\dfrac{a_{1}}{a_{2}}\neq\dfrac{b_{1}}{b_{2}}}}$

Portanto, para o sistema ser possível e determinado:

$\dfrac{1}{m}\neq\dfrac{m}{1}~~~\therefore~~~m\cdot m\neq1\cdot1~~~\therefore~~~m^{2}\neq1~~~\therefore~~~m\neq\pm\sqrt{1}\\\\\\\boxed{\boxed{m\neq\pm1}}$

Resposta: Letra E