Question

o símbolo do grêmio estudantil do colégio naval é composto por um círculo de raio =k√3, centro O, tangente ao lado BC e ao segmento MN (mn/ /bc) do triângulo equilátero ABC mede 6cm, conforte figura abaixo.
determine o valor K para que a soma das áreas do triângulo AMN e do círculo seja mínima, em cm.​

Answer 1

O valor de k que faz com que a soma das áreas do triângulo AMN e do círculo seja mínima é de (6√3)/(9 + 4√3) cm.

Cálculo do valor de k

Para calcular o valor de k que minimiza a soma das áreas do triângulo AMN e do círculo temos que primeiro encontrar a área das duas figuras.

Área do Círculo

A fórmula da área de um círculo é:

A = πr²

Onde:

• A questão original considera π = 3.
• O raio mede k√3.

A área será:

A = 3*(k√3)²

A = 3*k²*√3²

A = 3*k²*3

A = 9k²

Área do triângulo AMN

A fórmula da área de um triângulo é:

A = (b*h)/2

Onde b é a base e h é a altura. Para encontrar os valores de b e h temos que utilizar as medidas do triângulo ABC. Primeiro vamos encontrar o valor de h. A fórmula da altura de um triângulo equilátero é:

H = (l√3)/2

Como o lado de ABC é 6 cm:

H = (6√3)/2

H = 3√3

Observando a figura podemos concluir que a altura de ABC é igual a altura de AMN somado com o diâmetro do círculo (que equivale a duas vezes o raio), logo:

H = h + 2r

3√3 = h + 2(k√3)

h = 3√3 - 2k√3

h = √3(3 - 2k)

Os triângulos ABC e AMN são semelhantes, desta forma podemos encontrar a medida da base de AMN através da proporção entre as alturas e os lados dos triângulos:

b/l = h/H

b/6 = [√3(3 - 2k)]/3√3

Podemos cortar as √3:

b/6 = (3 - 2k)/3

3b = 6(3 - 2k)

Dividindo os dois lados por 3:

b = 2(3 - 2k)

Agora podemos aplicar a área do triângulo:

A = (b*h)/2

A = [2(3 - 2k)*√3(3 - 2k)]/2

Podemos simplificar essa fração cortando o 2 do numerador e denominador:

A = (3 - 2k)*√3*(3 - 2k)

A = √3*(3 - 2k)*(3 - 2k)

A = √3*(9 - 6k - 6k +4k²)

A = √3(4k² - 12k + 9)

A = 4√3k² - 12√3k + 9√3

Soma das Áreas

Agora fazemos a soma das áreas do círculo e do o triângulo AMN:

9k² + 4√3k² - 12√3k + 9√3

(9 + 4√3)k² - 12√3k + 9√3

Queremos encontrar o valor de k que minimiza esta equação de 2º grau ou seja encontra o menor valor possível. Para isso, utilizamos a fórmula do vértice da parábola do eixo horizontal:

Xv = -b/2a

O valor de b desta equação é 12√3 e o valor de a é (9 + 4√3). Substituindo os valores:

Xv = -(-12√3)/2(9 + 4√3)

Xv = (12√3)/2(9 + 4√3)

Dividindo o 12 do numerador pelo 2 do denominador:

Xv = (6√3)/(9 + 4√3) cm

Para saber mais sobre otimização de equações de 2º grau, acesse:

brainly.com.br/tarefa/11941647

#SPJ1