Question

O sétimo termo de uma P.G. É igual à 486 e o nono igual à 13122. Qual o terceiro termo dessa P.G.?
Preciso urgente pra amanha com conta

Answer 1

Vamos lá.

Tem-se que o 7º termo de uma PG é 486 e o 9º termo é igual a 13.122.
Pede-se o terceiro termo dessa PG.

Antes veja que qualquer termo de uma PG poderá ser obtido por meio da fórmula do termo geral, que é dado pela seguinte fórmula:

an = a1*qⁿ⁻¹

Na fórmula acima, "an" é o termo que você quer encontrar. Por sua vez "a1" é o primeiro termo da PG. Por seu turno "q" é a razão da PG e, finalmente "'n" é o número de termos da PG.
Dessa forma, fica fácil saber que o 9º termo e o 7º termo serão dados, respectivamente, pelas seguintes relações:

a9 = a1*q⁸
e
a7 = a1*q⁶

Como a7 = 486;  e a9 = 13.122 , teremos:

13.122 = a1*q⁸ ----- ou:
a1*q⁸ = 13.122      . (I)

e

486 = a1*q⁶ ----- ou:
a1*q⁶ = 486        . (II)

Agora veja que ficamos com um sistema de equações formado pelas expressões (I) e (II). Então vamos fazer o seguinte: dividiremos, membro a membro, a expressão (I) pela expressão (II), ficando da seguinte forma:

a1*q⁸ = 13.122
a1*q⁶ = 486
------------------------------ dividindo membro a membro, ficaremos com:
a1*q⁸/a1*q⁶ = 13.122/486 ---- efetuando as divisões indicadas, teremos:
q⁸/q⁶ = 27 ------ ou, o que é a mesma coisa;
q⁸⁻⁶ = 27
q² = 27
q = √(27) ----- veja que 27 = 3².3 . Assim:
q = √(3².3) ----- o "3" que está ao quadrado sai da raiz, ficando:
q =  3√(3)  <---- Esta é a razão da PG.

Agora que já temos que q = 3√(3), vamos encontrar qual é o valor do primeiro termo. Para isso, basta que substituamos "q" por seu valor encontrado acima em uma das expressões. Vamos na expressão (II), que é esta:

a1*q⁶ = 486 ----- substituindo-se "q" por "3√(3), teremos:
a1*[3√(3)]⁶ = 486 ----- note que isto é a mesma coisa que;
a1*3⁶*[√(3⁶)] = 486
a1*729*√(3⁶) = 486 ----- note que 3⁶ = 3².3².3². Assim:
729a1*√(3².3².3²) = 486 ---- note que cada um dos "3" sairão de dentro da raiz, pois cada um deles está elevado ao quadrado. Assim:

729a1*3*3*3 = 486 ---- ou apenas:
729a1*27 = 486 ---- ou, o que é a mesma coisa:
27*729a1 = 486 ----- como 27*729 = 19.683, teremos:
19.683a1 = 486
a1 = 486/19.683 ---- dividindo-se numerador e denominador por "243", ficaremos com:

a1 = 2/81  <---- Este é o primeiro termo.

Agora que já temos que a1 = "2/81" e que a razão é q = 3√(3), vamos encontrar o valor do 3º termo que, como já vimos, será dado por:

a3 = a1*q² ------ fazendo as devidas substituições, teremos;
a3 = (2/81)*[3√(3)]² ---- ou, o que é a mesma coisa:
a3 = (2/81)*[3²*√(3²)] ----- desenvolvendo, teremos:
a3 = (2/81)*[9*3]
a3 = (2/81)*27 ---- ou apenas:
a3 = 2*27/81
a3 = 54/81 ----- dividindo-se numerador e denominador por "27", ficaremos:

a3 = 2/3 <---- Este é o valor pedido do 3º termo da PG.


Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.