Question

O seno do ângulo da base de um triângulo isósceles é igual a 1/4. então a tangente do ângulo do vértice desse triângulo é igual a:

Answer 1

Sen(x) = 1/4

Aplique o arcosen(1/4) = x

x ≈ 14,4775⁰

Sabendo que o somatórios dos angulos de um triangulo é: 180⁰

E que o triangulo é isósceles teremos:

$\\ 2x + y = 180 \\ \\ 2(14,4775)+y = 180 \\ \\ 28,9550+y = 180 \\ \\ y = 180-28,9550 \\ \\ y =151,05$

A tangente o angulo será:

Tg(y) = tg(151,05) ⇒ -0,553


Ou se preferir:


Vamos determinar o valor ndo cosx primeiramente:

sen²x+cos²x=1

(1/4)²+cos²x= 1

1/16 +cos²x =1 

cos²x = 1 - 1/16

cos²x = 15/16

cosx = +/- √15/4

cosx é negativo: -√15/4
-------------------------------

Achando a tangente:

$\\ 2x+y=180 \\ \\ y = 180-2x \\ \\ tg(y) = tg(180-2x) \\ \\ tg(180-2x) = \frac{tg(180)-tg(2x)}{1+tg(180)*tg(2x)} \\ \\ tg(180-2x) = \frac{0-tg(2x)}{1+0*tg(2x)} \\ \\ tg(180-2x) = \frac{-Tg(2x)}{1} \\ \\ tg(180-2x) = -Tg(2x) \\ \\ -Tg(2x) = -\frac{2Tg(x)}{1-tg(x)^2} \\ \\ -Tg(2x) = - \frac{2 \frac{sen(x)}{cos(x)} }{1-(\frac{sen(x)}{cos(x)} )^2}$


$\\ -Tg(2x) = - \frac{2 \frac{ \frac{1}{4} }{ \frac{ -\sqrt{15} }{4} } }{1-(\frac{ \frac{1}{4} }{ -\frac{ \sqrt{15} }{4} } )^2} \\ \\ -Tg(2x) = -\frac{ 2\frac{1}{- \sqrt{15} } }{1- \frac{ \frac{1}{16} }{ \frac{15}{16} } } \\ \\ -Tg(2x) = - \frac{ \frac{2}{ \sqrt{15} } }{1- \frac{1}{15} } \\ \\ -Tg(2x) = - \frac{ \frac{2}{ \sqrt{15} }* \frac{ \sqrt{15} }{ \sqrt{15} } }{ \frac{14}{15} } \\ \\ -Tg(2x) = -\frac{ \frac{2 \sqrt{15} }{15} }{ \frac{14}{15} }$

$\\ -Tg(2x) = -\frac{ \frac{2 \sqrt{15} }{15} }{ \frac{14}{15} } \\ \\ -tg(2x) = -\frac{2 \sqrt{15} }{14} \\ \\ -tg(2x) = -\frac{ \sqrt{15} }{7}$

Answer 2

Vamos lá.

Veja: se o triângulo é isósceles, então os dois ângulos da base são iguais.
Então se temos que sen(x) = 1/4 , vamos calcular qual será o cos(x) pela primeira relação fundamental da trigonometria, que é:

sen²(x) + cos²(x) = 1 ---- substituindo-se sen(x) por 1/4, teremos:
(1/4)² + cos²(x) = 1
1/16 + cos²(x) = 1
cos²(x) = 1 - 1/16 ---- mmc, no 2º membro é igual a "16". Assim, utilizando-o apenas no 2º membro, teremos:

cos²(x) = (16*1 - 1*1)/16
cos²(x) = (16-1)/16
cos²(x) = (15)/16 --- ou apenas:
cos²(x) = 15/16
cos(x) = +-√(15/16) --- note que isto é a mesma coisa que:
cos(x) = +-√(15)/√(16) ---- como √(16) = 4, teremos:
cos(x) = +-√(15) / 4 ---- como os ângulos da base são ângulos agudos (menores que 90º), então eles tanto o seno como o cosseno são do 1º quadrante e serão positivos. Logo, tomando-se apenas a raiz positiva, teremos que:

cos(x) = √(15) / 4 ------- admitindo-se que √(15) seja igual a "3,873", teremos:
cos(x) = 3,873/4  <---- Este será o valor do cos(x).

Agora veja que a tangente dos dois ângulos da base será (note que tan(x) = sen(x)/cos(x) ):

tan(x) = (1/4) / (3,873/4)
tan(x) = (1/4)*(4/3,873)
tan(x) = 1*4/4*3,873 ---- dividindo-se "4" do numerador com "4" do denominador, teremos:

tan(x) = 1/3,873 ----- note que esta divisão dá: "0,258" (bem aproximado).
Assim, teremos que:

tan(x) = 0,258 <---- Este é o valor da tangente dos dois ângulos da base.

Agora veja: se utilizarmos arctan(x) = 0,258 , iremos encontrar que o arco "x" será igual a:

x = 14,47º (aproximadamente) <--- Este é o valor do arco "x" de cada ângulo da base.

Assim, como temo dois ângulos iguais a "14,47º" , então o ângulo do vértice será (lembre-se que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º). Assim, teremos:

x + x + y = 180º
2x + y = 180º ----- substituindo-se "x" por "14,47º" teremos:
2*14,47º + y -= 180º
28,94º + y = 180º
y = 180º-28,94º
y = 151,06º <---- Esta é a medida do ângulo do vértice.

Logo, se você utilizar uma calculadora científica vai ver que o ângulo de 151,06º tem tangente igual a:

tan(151,06º) = - 0,5529 (aproximadamente) <--- Esta é a resposta.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.