Question

O segundo, terceiro e quarto termo de uma progressão geométrica são, respectivamente, x – 2, 5x – 14 e 4x + 2. O primeiro termo dessa PG é: 

Answer 1

Como esses são termos de uma PG temos o seguinte:

$\frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2} = \frac{a_4}{a_3} = q$,

onde q é a razão da PG. Tomando as duas últimas frações pra encontrar o valor de x temos:

$\frac{a_3}{a_2} = \frac{a_4}{a_3} \Rightarrow \frac{5x-14}{x-2} = \frac{4x + 2}{5x - 14} \Rightarrow 25x^2 - 140x + 196 = 4x^2 - 6x - 4$
$21x^2 - 134x + 200 = 0$

$\Delta = (-134)^2 - 4.21.200 \Rightarrow \Delta = 1156$

$x = \frac{-(-134) \pm \sqrt{\Delta}}{2.21} = \frac{134 \pm 34}{42}$
$x = 4 \ ou \ x = \frac{50}{21}$

Agora é encontrar o valor de q. Como temos dois possíveis valores de x teremos dois possíveis valores para q e, então, para $a_1$:

I) x = 50/21

Nesse caso temos que $a_2 = x-2 = \frac{8}{21}$ e $a_3 = 5x-14 = \frac{-44}{21}$

$q = \frac{a_3}{a_2} = \frac{-44/21}{8/21} = \frac{-44}{8}$
$\underline{q = \frac{-11}{2}}$

$\frac{a_2}{a_1} = q \Rightarrow a_1 = \frac{a_2}{q} = \frac{8/21}{-11/2}$
$a_1 = \frac{-8.2}{11.21}$

$\boxed{\boxed{a_1 = \frac{-16}{231}}}$

II) x=4

Nesse caso temos $a_2 = 2 \ e \ a_3 = 5x-14 = 6$

$q = \frac{a_3}{a_2} = \frac{6}{2} \\ \underline{q = 3}$

$\frac{a_2}{a_1} = q \Rightarrow a_1 = \frac{a_2}{q}$

$\boxed{\boxed{a_1 = \frac{2}{3}}}$