O seguinte sistema linear admite uma única solução; determine essa solução aplicando a regra de Cramer
{x + y + z =7
{2x - 3y - 2z = 4
{3x + 4y - z = -1
Soluções para a tarefa
A solução do sistema linear é:
{4, -2, 5}
x = 4
y = - 2
z = 5
Como temos que aplicar a regra de Cramer, vamos montar a matriz com os coeficientes desse sistema linear.
A matriz A incompleta desse sistema é:
[1 1 1]
A = [2 -3 -2]
[3 4 -1]
Agora, calculamos o determinantes dessa matriz.
| 1 1 1 | 1 1 |
D = | 2 -3 -2 | 2 -3 |
| 3 4 -1 | 3 4 |
D = 1.(-3).(-1) + 1.(-2).3 + 1.2.4 - [1.2.(-1) + 1.(-2).4 + 1.(-3).3]
D = 3 - 6 + 8 - [- 2 - 8 - 9]
D = 5 - [- 19]
D = 5 + 19
D = 24
Agora devemos substituir os temos independentes na primeira coluna da matriz A, formando assim uma segunda matriz que será representada por Ax.
[7 1 1]
Ax = [4 -3 -2]
[-1 4 -1]
Agora, o determinante.
| 7 1 1 | 7 1 |
Dx = | 4 -3 -2 | 4 -3 |
|-1 4 -1 | -1 4 |
Dx = 7.(-3).(-1) + 1.(-2).(-1) + 1.4.4 - [1.4.(-1) + 7.(-2).4 + 1.(-3).(-1)]
Dx = 21 + 2 + 16 - [- 4 - 56 + 3]
Dx = 39 - [- 57]
Dx = 39 + 57
Dx = 96
Agora, aplicamos a regra de Cramer e descobrimos o valor de x.
x = Dx
D
x = 96
24
x = 4
Fazemos o mesmo processo para descobrir os valores de y e de z.
[1 7 1]
Ay = [2 4 -2]
[3 -1 -1]
Agora, o determinante.
| 1 7 1 | 1 7 |
Dy = | 2 4 -2 | 2 4 |
| 3 -1 -1 | 3 -1 |
Dy = 1.4.(-1) + 7.(-2).3 + 1.2.(-1) - [7.2.(-1) + 1.(-2).(-1) + 1.4.3]
Dy = - 4 - 42 - 2 - [- 14 + 2 + 12]
Dy = - 48 - [0]
Dy = - 48
y = Dy
D
y = - 48
24
y = - 2
[1 1 7]
Az = [2 -3 4]
[3 4 -1]
Agora, o determinante.
| 1 1 7 | 1 1 |
Dz = | 2 -3 4 | 2 -3 |
| 3 4 -1 | 3 4 |
Dz = 1.(-3).(-1) + 1.4.3 + 7.2.4 - [1.2.(-1) + 1.4.4 + 7.(-3).3]
Dz = 3 + 12 + 56 - [- 2 + 16 - 63]
Dz = 71 - [- 49]
Dz = 71 + 49
Dz = 120
z = Dz
D
z = 120
24
z = 5