Question

O retângulo ABCD tem dimensões AB = 2 e BC = 4. Os pontos M e N são médios dos lados BC e CD, respectivamente. O cosseno do ângulo AMN é igual a:
a) -1/ √3.
b) 1/√5.
c) -1/√5.
d) 1/√10.
e) -1/√10.

Answer 1

A alternativa correta é a letra e)

Dados do problema:

distância $BC=4$

distância $CD=2$

$M$ é ponto médio de $BC$ ou seja,

distancia $BM=2$

$N$ é ponto médio de $CD$ ou seja,

distancia $CN=1$

Fazendo uma figura percebemos de $AB$ e $BM$ tem a mesma medida.

Portanto a figura $ABMO$ é um quadrado com diagonal $AM$.

sabe-se que a diagonal de um quadrado forma um ângulo de 45 ° com os seus lados.

Portanto:

$cos(\alpha)=cos(45)=\dfrac{1}{\sqrt2}$

Já diagonal $MN$ faz parte do retângulo $MCNP$ com lados $MC$ de tamanho $2$ e $MP$ de tamanho $1$

Para obter o ângulo $\theta$ entre $MP$ e $MN$ Podemos primeiro obter o tamanho do lado MN E depois usar a relação

$cos(\theta) =\dfrac{MP}{MN}$

O tamanho do lado MN pode ser obtido pelo teorema de Pitágoras:

$MN^2=MP^2+NP^2=1^2+2^2=5\\MN=\sqrt5$

usando a relação para obter o cosseno:

$cos(\theta) =\dfrac{MP}{MN}=\dfrac{1}{\sqrt5}=$

vamos também obter o seno:

$sen (\theta)$:

$sen(\theta) =\dfrac{NP}{MN}=\dfrac{2}{\sqrt5}=$

Por fim vamos usar o cosseno da soma:

$cos(\alpha+\theta)=cos(\alpha)cos(\theta)-sin(\alpha)sin(\theta) \\\cos(\alpha+\theta)= \dfrac{1}{\sqrt2}\times \dfrac{1}{\sqrt5}-\dfrac{1}{\sqrt2}\dfrac{2}{\sqrt5}=-\dfrac{1}{\sqrt{10}}$