O resto da divisão de por 7 é?
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Por favor responder de forma detalhada. Respostas com brincadeiras serão eliminadas.
Soluções para a tarefa
Respondido por
3
Sabendo que
e que o resto da divisão por 7 está no intervalo de
O resto para cada índice i é
Como os restos se repetem em grupos de 6, então
Podemos ver que o próximo índice depois do 1998 tem resto 1, sendo assim:
O resto da divisão de por 7 é 1.
e que o resto da divisão por 7 está no intervalo de
O resto para cada índice i é
Como os restos se repetem em grupos de 6, então
Podemos ver que o próximo índice depois do 1998 tem resto 1, sendo assim:
O resto da divisão de por 7 é 1.
superaks:
Obrigado pela resposta! =)
Respondido por
3
Calcular o resto da divisão de
111...111 por 7
onde 111...111 tem 1999 dígitos.
=====
Sabemos que 7 é primo, e 7 não divide 10. Logo, por Fermat, temos que
7 divide 10⁶ − 1
7 divide 999999
7 divide 9 · 111111
e como mdc(7, 9) = 1, vale a lei do cancelamento, ou seja
7 divide 111111
7 divide
=====
Observe que
• para o número com 12 dígitos iguais a 1,
111111111111 = 111111000000 + 111111
111111111111 = 111111 · 10⁶ + 111111
111111111111 = 111111 · (10⁶ + 1)
• para o número com 18 dígitos iguais a 1,
111...111 = 111111 · 10¹² + 111111 · 10⁶ + 111111
111...111 = 111111 · (10¹² + 10⁶ + 1)
Generalizando,
• para o número formado por 6n dígitos iguais a 1, teremos
111...111 = 111111 · (10⁶⁽ⁿ⁻¹⁾ + 10⁶⁽ⁿ⁻²⁾ + ... + 10⁶ + 1)
Para 6n = 1998, isto é, n = 333, temos que
de onde concluímos que
7 divide ,
pois este é múltiplo de 111111, que por sua vez é múltiplo de 7.
======
Usando a notação de congruência, temos que
Somando e subtraindo e agregando esse termo ao somatório, temos
e como então
Dessa forma,
O resto da divisão de 111...111 = por 7 é 1.
Bons estudos! :-)
111...111 por 7
onde 111...111 tem 1999 dígitos.
=====
Sabemos que 7 é primo, e 7 não divide 10. Logo, por Fermat, temos que
7 divide 10⁶ − 1
7 divide 999999
7 divide 9 · 111111
e como mdc(7, 9) = 1, vale a lei do cancelamento, ou seja
7 divide 111111
7 divide
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Observe que
• para o número com 12 dígitos iguais a 1,
111111111111 = 111111000000 + 111111
111111111111 = 111111 · 10⁶ + 111111
111111111111 = 111111 · (10⁶ + 1)
• para o número com 18 dígitos iguais a 1,
111...111 = 111111 · 10¹² + 111111 · 10⁶ + 111111
111...111 = 111111 · (10¹² + 10⁶ + 1)
Generalizando,
• para o número formado por 6n dígitos iguais a 1, teremos
111...111 = 111111 · (10⁶⁽ⁿ⁻¹⁾ + 10⁶⁽ⁿ⁻²⁾ + ... + 10⁶ + 1)
Para 6n = 1998, isto é, n = 333, temos que
de onde concluímos que
7 divide ,
pois este é múltiplo de 111111, que por sua vez é múltiplo de 7.
======
Usando a notação de congruência, temos que
Somando e subtraindo e agregando esse termo ao somatório, temos
e como então
Dessa forma,
O resto da divisão de 111...111 = por 7 é 1.
Bons estudos! :-)
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