Question

O resto da divisão de $\underbrace{\mathsf{111...111}}\\\mathsf{~~~~_{1999}~}$ por 7 é?



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Por favor responder de forma detalhada. Respostas com brincadeiras serão eliminadas.

Answer 1

Sabendo que 
$\underbrace{111...111}_{1999} = \sum_{i=0}^{1998} = 10^i$

e que o resto da divisão por 7 está no intervalo de
$0\leq r \ \textless \ 7$

O resto para cada índice i é
$\left[\begin{array}{cc}Indice&Resto\\ 0&1\\ 1&4\\ 2&6\\ 3&5\\ 4&2\\ 5&0\\ 6&1 \end{array}\right]$

Como os restos se repetem em grupos de 6, então
$1999 = 333\times6+1$

Podemos ver que o próximo índice depois do 1998 tem resto 1, sendo assim:

O resto da divisão de $\underbrace{111...111}_{1999}$ por 7 é 1.

Answer 2

Calcular o resto da divisão de

111...111 por 7

onde 111...111 tem 1999 dígitos.

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Sabemos que 7 é primo, e 7 não divide 10. Logo, por Fermat, temos que

$\mathsf{10^6\equiv 1~~(mod~7)}$

7 divide 10⁶ − 1
7 divide 999999
7 divide 9 · 111111

e como mdc(7, 9) = 1, vale a lei do cancelamento, ou seja

7 divide 111111
7 divide $\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^5 10^k}$

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Observe que

• para o número com 12 dígitos iguais a 1,

111111111111 = 111111000000 + 111111
111111111111 = 111111 · 10⁶ + 111111
111111111111 = 111111 · (10⁶ + 1)

• para o número com 18 dígitos iguais a 1,

111...111 = 111111 · 10¹² + 111111 · 10⁶ + 111111
111...111 = 111111 · (10¹² + 10⁶ + 1)

Generalizando,

• para o número formado por 6n dígitos iguais a 1, teremos

111...111 = 111111 · (10⁶⁽ⁿ⁻¹⁾ + 10⁶⁽ⁿ⁻²⁾ + ... + 10⁶ + 1)

$\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^{6n-1} 10^k=111111 \cdot \sum_{k=0}^{n-1} 10^{6k}}}$

Para 6n = 1998, isto é, n = 333, temos que

$\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^{1997} 10^k=111111 \cdot \sum_{k=0}^{332} 10^{6k}}$

de onde concluímos que

7 divide $\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^{1997} 10^k}$,

pois este é múltiplo de 111111, que por sua vez é múltiplo de 7.

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Usando a notação de congruência, temos que

$\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^{1997}10^k\equiv 0~~(mod~7)}$

Somando e subtraindo $\mathsf{10^{1998}},$ e agregando esse termo ao somatório, temos

$\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^{1997}10^k+10^{1998}-10^{1998}\equiv 0~~(mod~7)}\\\\\\ \mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^{1998}10^k-10^{1998}\equiv 0~~(mod~7)}\\\\\\ \mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^{1998}10^k\equiv 10^{1998}~~(mod~7)}\\\\\\ \mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^{1998}10^k\equiv (10^6)^{333}~~(mod~7)}}$

e como $\mathsf{10^6\equiv 1~~(mod~7)},}$ então

$\mathsf{(10^6)^{333}\equiv 1^{333}~~(mod~7)}\\\\ \mathsf{10^{1998}\equiv 1~~(mod~7)}$

Dessa forma,

$\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^{1998}10^k\equiv 10^{1998}\equiv 1~~(mod~7)}}$

O resto da divisão de 111...111 = $\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^{1998}10^k}$ por 7 é 1.

Bons estudos! :-)