Question

O resto da divisão de 3^55 por 5 é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

Answer 1

O resto da divisão de $\sf 3^{55}$ por 5 é 2.

Solução:

Queremos encontrar o resto da divisão de $\sf 3^{55}$ por 5.

Por definição em aritmética, o resto ou resto de uma divisão de dois inteiros é o número que deve ser subtraído do dividendo para ser igual a um determinado número de vezes o divisor. Equivalentemente, é o número resultante da diferença do dividendo com o produto do divisor pelo quociente.

Com base em seu resto, as divisões são classificadas como exatas se seu resto for zero ou inexatas em caso contrário. O resto de uma divisão em notação de congruência denota esta relação como a ≡ b (mod m). onde m é o divisor e o módulo de congruência, b é o resto da divisão e a é o dividendo.

• Então a divisão que queremos realizar em notação de congruência pode ser escrita como:

$\sf 3^{55}\equiv 3^{55}~\pmod{\sf 5}$

É necessário escrever o número $\sf 3^{55}$ em ambas as partes da congruência, pois não sabemos o resto da divisão por enquanto. Observe que o número $\sf 3^{55}$ é um número bastante grande, pois o expoente é um número bastante grande para a base, portanto, não é possível encontrar o resto da divisão de uma forma primitiva . O método que vou usar para encontrar o resto dessa divisão não é muito útil para casos mais complexos, mas pode nos ajudar nesse caso, primeiro anotamos os 5 primeiros termos elevando 3 a um inteiro maior que 0.

$\begin{cases} \sf3^1=3\\\\\sf3^2=3\cdot3=9\\\\\sf 3^3=3\cdot3\cdot3=27\\\\\sf 3^4=3\cdot3\cdot3\cdot3=81\\\\\sf3^5=3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3=243\end{cases}$

Não vamos levar em conta a maioria dessas potências, vamos levar em conta apenas o número $\sf 3^5$ que é o mesmo que dizer 243. Observe que o expoente dessa potência pode dividir o número 55 deixando resto 0, portanto é um divisor de 55. Observe que 243 é o mesmo que dizer $\sf 248 = 5\cdot48+3$, podemos ver que o resto dividindo $\sf 3^5$ por 5 é igual a 3, em notação de congruência, podemos escrevê-lo como:

$\sf 3^5\equiv 3~\pmod{\sf 5}\qquad \rm(I)$

Isso é verdade, pois existe um teorema em aritmética modular que prova essa igualdade, o teorema de que estou falando é conhecido como pequeno teorema de Fermat (P.F) que diz que: Se p é um número primo, então, para cada número natural a, com a > 0 , $\sf a^p\equiv a\pmod{\sf p}$

Podemos ver que 5 é um número primo, pois os únicos fatores em comum que ele tem é 1 e ele mesmo, portanto, o pequeno teorema de Fermat é válido. Elevando ambas as partes à potência de 11, podemos ver que:

$\sf\left( 3^5\right)^{11}\equiv 3^{11}~\pmod{\sf 5}\qquad \to\qquad 3^{55} \equiv 3^{11}~\pmod{\sf 5}\\\\\\ \sf 3^{55}\equiv 3^{5\cdot 2+1}~\pmod{5}\qquad \to \qquad 3^{55}\equiv \sf\left(3^5\right)^2\cdot 5~\pmod{5}\quad\rm(II)$

Graças a isso, conseguimos reduzir uma potência tão grande para uma potência menor. Devemos encontrar o resultado de (II) para isso aplicamos o resultado de (I) em (II) e a congruência ainda é mantida.

$\sf 3^{55}\equiv 3^2\cdot 3~\pmod{5}\qquad\to\qquad 3^{55}\equiv \underbrace{ \sf9\cdot 3}_{27}~\pmod{\sf5}\\\\\\ \sf3^{55}\equiv 27~\pmod{\sf5}\qquad \to\qquad 3^{55}\equiv 2\pmod{\sf5}$

O resto é 2. Lembre-se que o resto é o valor que sobra após uma divisão (como se um número não pudesse ser dividido exatamente por outro). Ao dividir 27 por 5 você pode perceber que dá um resultado igual a 5,4 (calculadora) vamos multiplicar 5 pelo primeiro dígito do resultado e podemos ver que 5x5 = 25, subtraindo 25 por 27 você obtém 2 , o resultado dessa subtração é o resto.

Como 0 ≤ 2 < 5, então o resto da divisão de 3⁵⁵ por 5 é 2.

Answer 2

Resposta:

$\textsf{Leia abaixo}$

Explicação passo a passo:

$\sf 3^1 = 3 \div 5 = 0 \textsf{ e restam 3}$

$\sf 3^2 = 9 \div 5 = 1 \textsf{ e restam 4}$

$\sf 3^3 = 27 \div 5 = 5 \textsf{ e restam 2}$

$\sf 3^4 = 81 \div 5 = 16 \textsf{ e restam 1}$

$\sf 3^5 = 243 \div 5 = 48 \textsf{ e restam 3}$

$\textsf{Existe uma sequ{\^e}ncia padr{\~a}o de \{3,4,2,1\} no resto da divis{\~a}o de }\sf 3^n\textsf{ por 5.}$

$\sf n \div 4 \textsf{ restam x, onde x {\'e} a posi}\sf c_{\!\!,}\textsf{{\~a}o na sequ{\^e}ncia \{3,4,2,1\}.}$

$\sf 55 \div 4 = 13\textsf{ e restam 3}$

$\textsf{Terceira posi}\sf c_{\!\!,}\textsf{ao na sequ{\^e}ncia \{3,4,2,1\}\textsf{ {\'e} o }\boxed{\sf2}}\leftarrow\textsf{letra C}$