O restaurante exatus vende 1000 pratos vegetarianos a R$18,00 por semana. Quando o restaurante oferece um desconto de $5, passa a vender 1.500 pratos, por semana.
a) Qual deve ser o valor do desconto, para que a receita semanal seja maximizada?
b) Determine a receita máxima.
c) Represente graficamente a função receita descrita acima.
Só para corrigir meu trabalho
Soluções para a tarefa
Vamos lá.
Veja, Mariana, que a questão é mais ou menos simples. Vamos tentar razer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Note que o restaurante Exatus vende 1.000 pratos por semana a R$ 18,00 cada prato. Quando o restaurante dá um desconto de R$ 5,00 passa a vender 1.500 pratos (ou seja 500 pratos a mais) por semana.
ii) Veja que questões desse tipo costumam ser resolvidas da seguinte forma:
(18 - 5x)*(1.000+500x) ---- aqui está sendo informado que a cada redução "x" de R$ 5,00 no preço, há um aumento "x" de 500 na quantidade vendida. Então teremos a seguinte função obtida pela lei de formação acima:
f(x) = (18-5x)*(1.000+500x) ------ efetuando o produto indicado, iremos ficar assim:
f(x) = -2.500x² + 4.000x + 18.000 <--- Esta é a função quadrática obtida pela lei de formação acima. Então esta é a função receita do restaurante Exatus.
ii) Agora vamos responder às questões propostas:
ii.a) Qual deve ser o valor do desconto para que a receita semanal seja maximizada?
Veja que o desconto "x" para que haja receita máxima será dada pelo "x" do vértice da parábola da equação acima. E o "x" do vértice (xv) é dado pela seguinte fórmula:
xv = -b/2a ----- substituindo-se "b" por "4.000" e "a" por "-2.500", teremos:
xv = -4.000/2*(-2.500)
xv = -4.000/-5.000 ----- note que, na divisão, menos com menos dá mais. Logo:
xv = 4.000/5.000 ---- simplificando-se tudo por "1.000", ficaremos com:
xv = 4/5 (ou "0,8" , pois 4/5 = 0,8). <--- este é o valor do "x" do vértice, que é "x" que vai proporcionar a obtenção da receita máxima.
Agora basta que substituamos na expressão original o "x" por "0,8" para vermos qual é o desconto (em reais) para a obtenção da receita máxima. Note que a função f(x) é esta:
f(x) = (18 - 5x)*(1.000+500x) ----- tomando-se apenas a primeira parte, para vermos qual será o desconto (em reais) que dá a receita máxima, teremos:
18 - 5x ---- substituindo-se "x" por "0,8", temos: 18 - 5*08 = 18 - 4 = 14<---- Veja: o desconto que dará a receita máxima é de R$ 4,00 , o que faz com que o prato seja vendido por R$ 14,00. Mas a pergunta é apenas desta questão é: qual é o valor do desconto que dará a receita máxima? A resposta é:
R$ 4,00 <--- Esta é a resposta para o item "a".
ii.b) Determine a receita máxima.
Veja, para isso, basta que calculemos o "y" do vértice (yv). Mas há uma outra forma de obter a receita máxima sem ter que utilizar a fórmula do "y" do vértice (yv). Esta outra forma se resume em você substituir na função dada [f(x) = -2.500x² + 4.000x + 18.000] o "x" por "0,8" e o resultado será a receita máxima. Então fazendo isso, teremos:
f(0,8) = -2.500*(0,8)² + 4.000*0,8 + 18.000
f(0.8) = - 2.500*(0,64) + 3.200 + 18.000 ----- veja que "-2.500*0,64 = -1.600". Logo:
f(0,8) = -1.600 + 3.200 + 18.000 ---- efetuando esta soma algébrica, ficaremos com:
f(0,8) = 19.600,00 <--- Esta é a resposta para o item "b". Esta é a receita máxima que foi obtida quando o prato é vendido com um desconto de R$ 4,00.
ii.c) Represente graficamente a função receita descrita acima.
Veja: como aqui no Brainly eu não sei construir gráficos, então veja o gráfico desta função no endereço abaixo e constate tudo o que informamos sobre ela no desenvolvimento acima. Veja lá:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x)+%3D+-2500x%C2%B2+%2B+4000x+%2B+18000
Fixe-se no primeiro gráfico que, por ter uma escala maior, fica melhor de ver.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
Ok?
Adjemir.