Question

O raio de circunferência circunscrita á base de um prisma hexagonal regular mede 6cm. Sabendo que a área total desse prisma vale 468√3 cm², Calcule sua área lateral. resp:$360 \sqrt{3} cm^{2}$

Answer 1

Primeiramente, quando temos uma circunferência inscrita em um hexágono regular, o raio da circunferência coincide com o lado do hexágono.

Com isso, os lados do hexágono em questão medem 6 cm. Podemos dividir um hexágono regular em seis triângulos equiláteros congruentes, todos com lado igual ao lado do hexágono.

A área de um triângulo de lado $L$ é $\dfrac{L^2\sqrt{3}}{4}$. A área de um desses triângulos equiláteros é $\dfrac{6^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}~\text{cm}^2$,

Mas, veja que, há dois hexágonos, de modo que, precisamos considerar $12$ triângulos equiláteros de área $9\sqrt{3}~\text{cm}^2$.

Deste modo, a área não lateral desse prisma é $12\times9\sqrt{3}=108\sqrt{3}~\text{cm}^2$.

Como a área total vale $468\sqrt{3}~\text{cm}^2$, a área lateral vale $468\sqrt{3}-108\sqrt{3}=360\sqrt{3}~\text{cm}^2$.