Question

O que eu devo saber pra deixar a derivada de y = (x² + 1)³ / (x² - 1)³ simplificada assim: y' = -12x (x² +1)² / (x² - 1)^4 ?

Answer 1

$y=\frac{(x^2+1)^3}{(x^2-1)^3}$

lembrando as regras de derivada
$\bmatrix(u)^n = n*(u)^{n-1} *u'\\\\ (\frac{U}{V})=' \frac{U'*V-U*V'}{V^2} \end$

sendo assim temos 
$U = (x^2+1)^3 \\\\U'=3*(x^2+1)^2*(2x+0) = 6x*(x^2+1)^2$

$V=(x^2-1)^3\\\\V' = 3*(x^2-1)^3*(2x-0) = 6x*(x^2-1)^2$

colocando na regra do quociente
$\boxed{\boxed{y'= \frac{6x*(x^2+1)^2 *(x^2-1)^3 - (x^2+1)^3*6x*(x^2-1)^2}{[(x^2-1)^3]^2} }}$

primeiro vc pode colocar 6x*(x²-1)² em evidencia ficando

$y' =6x*(x^2-1)^2* \left[ \frac{(x^2+1)^2*(x^2-1)-(x^2+1)^3}{(x^2-1)^6}} \right]$

como é td uma multiplicação vc pode dividir (x²-1)²/(x²-1)^6 = 1/(x²-1)^4
(divisão de potencias de mesma base...mantem a base e subtrai os expoentes)
temos

$\boxed{\boxed{y' =6x* \left[ \frac{(x^2+1)^2*(x^2-1)-(x^2+1)^3}{(x^2-1)^4}} \right ] }}$

colocando (x²+1)² em evidencia

$y'=6x*(x^2+1)^2*\left [ \frac{(x^2-1)-(x^2+1)}{(x^2-1)^4} \right]\\\\y'=6x*(x^2+1)^2*\left [ \frac{-2}{(x^2-1)^4} \right]\\\\\boxed{\boxed{y'= \frac{-12x*(x^2+1)^2}{(x^2-1)^4} }}$