O que é o escalonamento(matemática)?
Soluções para a tarefa
Utilizamos a regra de Cramer para discutir e resolver sistemas lineares em que o número de equações (m) é igual ao número de incógnitas (n). Quando m e n são maiores que três, torna-se muito trabalhoso utilizar essa regra. Por isso, usamos a técnica do escalonamento, que facilita a discussão e resolução de quaisquer sistemas lineares.
Dizemos que um sistema, em que existe pelo menos um coeficiente não-nulo em cada equação, está escalonado se o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não nulo aumenta de equação para equação. Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento:
a) Fixamos como 1ª equação uma das que possuem o coeficiente da 1ª incógnita diferente de zero.
b) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais equações.
c) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado.
Vamos então aplicar a técnica do escalonamento, considerando dois tipos de sistema:
I. O número de equações é igual ao número de incógnitas (m=n)
Exemplo 1:
1ºpasso: Anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita a partir da 2ª equação, aplicando as propriedades dos sistemas equivalentes:
Trocamos de posição a 1ª equação com a 2ª equação, de modo que o 1º coeficiente de x seja igual a 1.
Trocamos a 2ª equação pela soma da 1ª equação, multiplicada por -2, com a 2ª equação:
Trocamos a 3ª equação pela soma da 1ª equação, multiplicada por -3, com a 3ª equação:
2º passo: Anulamos os coeficientes da 2ª incógnita a partir da 3ª equação:
Trocamos a 3ª equação pela soma da 2ª equação, multiplicada por -1, com a 3ª equação:
Agora o sistema está escalonado e podemos resolvê-lo.
-2z=-6 z=3
Substituindo z=3 em (II):
-7y - 3(3)= -2 -7y - 9 = -2 y=-1
Substituindo z=3 e y=-1 em (I):
x + 2(-1) + 3= 3 x=2
Então, x=2, y=-1 e z=3
Exemplo 2:
1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita a partir da 2ª equação:
Trocamos a 2ª equação pela soma do produto da 1ª equação por -2 com a 2ª equação:
Trocamos a 3ª equação pela soma do produto da 1ª equação por -3 com a 3ª equação:
2º passo: Anulamos os coeficientes da 2ª incógnita, a partir da 3ª equação:
Trocamos a 3ª equação pela soma do produto da 2ª equação por -1 com a 3ª equação:
Dessa forma, o sistema está escalonando. Como não existe valor real de z tal que 0z=-2, o sistema é impossível.