o que é multiplo irado ?
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Já na década de 80, vários professores brasileiros conheciam
uma curiosa proposição da Aritmética:
Qualquer número natural tem um múltiplo que pode ser
escrito utilizando-se apenas os algarismos 0 e 1.
A inclusão de uma questão sobre isso na OBMEP/2011
(RPM 77, p. 9) reacendeu o interesse sobre o problema junto
a nossos professores e trouxe à tona informações interessantes
que a RPM deseja compartilhar com seus leitores.
Em primeiro lugar, vale dizer que a denominação múltiplo
“irado”, para o menor dos múltiplos de um natural qualquer
que possam ser escritos empregando-se apenas os algarismos
0 e 1, é criação do Comitê de Provas da OBMEP,
valendo-se de um adjetivo usado coloquialmente pelos jovens
de hoje, de modo que ninguém irá (ainda) encontrá-la
nos livros sobre Teoria dos Números.
A referida proposição pode ser demonstrada de várias
maneiras, mas a mais elementar delas parece ser a seguinte:
sejam n um inteiro positivo qualquer e
1, 11, 111, 1111, ......., 11111...1,
a sequência de n naturais cujo último elemento contém n
algarismos 1. Dividamos cada um dos elementos por n, obtendo
n restos. Se algum desses restos for zero, teremos encontrado
um múltiplo de n escrito apenas com o algarismo
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