O que é equações lineares
De exemplos
E qual e a sua finalidade
Soluções para a tarefa
Resposta:
Diz-se em matemática que uma equação polinomial a {\displaystyle n}n indeterminadas da forma
{\displaystyle a_{n}X_{n}+a_{n-1}X_{n-1}+\cdots +a_{1}X_{1}+a_{0}=0_{A},}a_nX_n + a_{n-1}X_{n-1} + \cdots + a_1X_1 + a_0 = 0_A,
em que os coeficientes {\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}}a_0, a_1, \ldots, a_n pertencem a um anel comutativo {\displaystyle A}A e {\displaystyle 0_{A}\in A}0_A \in A é o nulo[1] do anel, é uma equação linear sobre {\displaystyle A}A. De outro modo, fixado um polinômio {\displaystyle p\in A[X_{1},\ldots ,X_{n}]}p \in A[X_1, \ldots, X_n] de grau um,
{\displaystyle p=0_{A}}p = 0_A
é uma equação linear.
Uma equação linear da-se que pi = ios, {\displaystyle p-a=0_{A}}p - a = 0_A e {\displaystyle p-q=0_{A}}p - q = 0_A são equações lineares reduzidas a forma mais simples.
Nem sempre uma equação linear sobre {\displaystyle A}A possuirá solução sobre {\displaystyle A}A, mas sempre possuirá solução em alguma extensão de {\displaystyle A}A. Por exemplo, se {\displaystyle A}A é um subanel de {\displaystyle \mathbb {R} }\mathbb{R}, toda equação linear sobre {\displaystyle A}A possuirá solução em {\displaystyle \mathbb {R} }\mathbb{R}. Na verdade, para ser mais preciso, se {\displaystyle A}A é um subanel de um subcorpo {\displaystyle \mathbb {K} }\mathbb{K} de {\displaystyle \mathbb {R} }\mathbb{R}, então toda equação linear sobre {\displaystyle A}A possui solução em {\displaystyle \mathbb {K} }\mathbb{K}.
Equações lineares com coeficientes reais são de grande importância em física, engenharia e matemática aplicada. Muitos problemas modelados por equações não-lineares podem ser aproximados localmente[2] por equações lineares. Realmente, essas áreas valem-se largamente do emprego de variedades, objetos geométricos que podem ser aproximados, localmente, por espaços euclideanos, objetos geométricos descritos corretamente por equações lineares[3].Diz-se em matemática que uma equação polinomial a {\displaystyle n}n indeterminadas da forma
{\displaystyle a_{n}X_{n}+a_{n-1}X_{n-1}+\cdots +a_{1}X_{1}+a_{0}=0_{A},}a_nX_n + a_{n-1}X_{n-1} + \cdots + a_1X_1 + a_0 = 0_A,
em que os coeficientes {\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}}a_0, a_1, \ldots, a_n pertencem a um anel comutativo {\displaystyle A}A e {\displaystyle 0_{A}\in A}0_A \in A é o nulo[1] do anel, é uma equação linear sobre {\displaystyle A}A. De outro modo, fixado um polinômio {\displaystyle p\in A[X_{1},\ldots ,X_{n}]}p \in A[X_1, \ldots, X_n] de grau um,
{\displaystyle p=0_{A}}p = 0_A
é uma equação linear.
Uma equação linear da-se que pi = ios, {\displaystyle p-a=0_{A}}p - a = 0_A e {\displaystyle p-q=0_{A}}p - q = 0_A são equações lineares reduzidas a forma mais simples.
Nem sempre uma equação linear sobre {\displaystyle A}A possuirá solução sobre {\displaystyle A}A, mas sempre possuirá solução em alguma extensão de {\displaystyle A}A. Por exemplo, se {\displaystyle A}A é um subanel de {\displaystyle \mathbb {R} }\mathbb{R}, toda equação linear sobre {\displaystyle A}A possuirá solução em {\displaystyle \mathbb {R} }\mathbb{R}. Na verdade, para ser mais preciso, se {\displaystyle A}A é um subanel de um subcorpo {\displaystyle \mathbb {K} }\mathbb{K} de {\displaystyle \mathbb {R} }\mathbb{R}, então toda equação linear sobre {\displaystyle A}A possui solução em {\displaystyle \mathbb {K} }\mathbb{K}.
Equações lineares com coeficientes reais são de grande importância em física, engenharia e matemática aplicada. Muitos problemas modelados por equações não-lineares podem ser aproximados localmente[2] por equações lineares. Realmente, essas áreas valem-se largamente do emprego de variedades, objetos geométricos que podem ser aproximados, localmente, por espaços euclideanos, objetos geométricos descritos corretamente por equações lineares