Question

Integral de re^r/2 dr

Answer 1

A integral do enunciado foi interpretada como:

$\displaystyle I=\int re^{\frac{r}{2}}\,dr$

(Obs: Caso a questão seja diferente do que foi interpretado, comente e eu editarei a resposta)

Vamos resolver essa integral por partes. Fazendo as substituições abaixo e prosseguindo o desenvolvimento:

$u=r\to du=dr\\\\ dv=e^{\frac{r}{2}}\,dr\to v=2e^{\frac{r}{2}}\\\\\\ \displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du\\\\ I=\int re^{\frac{r}{2}}\,dr\\\\ I=2re^{\frac{r}{2}}-\int 2e^{\frac{r}{2}}\,dr\\\\ I=2re^{\frac{r}{2}}-2\int e^{\frac{r}{2}}\,dr\\\\ I=2re^{\frac{r}{2}}-2(2e^{\frac{r}{2}})+C\\\\ I=2re^{\frac{r}{2}}-4e^{\frac{r}{2}}+C\\\\ I=2e^{\frac{r}{2}}(r-2)+C\\\\ \boxed{\int re^{\frac{r}{2}}\,dr=2e^{\frac{r}{2}}(r-2)+C}$