Question

O quantificador existencial ∃ é válido somente para os números reais?
Se não, então a proposição (∃a)(a²+1≤0) está correta? Tendo em vista a= √-1

Answer 1

O quantificador existencial $\mathsf{\exists}$ é válido para qualquer conjunto.

Sejam $\mathsf{A \neq \varnothing}$ o conjunto universo, p(x) uma sentença aberta em A e $\mathsf{V_p}$ seu conjunto verdade.

Usamos o quantificador existencial para indicar afirmações do tipo:

1. Existe pelo menos um $\mathsf{x \in A}$ tal que $\mathsf{p(x)}$ é verdadeira.
2. Para algum $\mathsf{x \in A,}$ $\mathsf{p(x)}$ é verdadeira.

Essas afirmações são verdadeiras quando $\mathsf{V_p \neq \varnothing.}$

Usando os símbolos da Lógica Matemática, podemos indicar essas afirmações da seguinte forma:

1. $\mathsf{(\exists x \in A)(p(x))}$
2. $\mathsf{\exists x \in A, p(x)}$
3. $\mathsf{\exists x \in A: p(x)}$

É muito comum, com o fito de simplicar a notação, omitir o conjunto universo, desde que não cause confusão. Dessa forma, escreve-se:

1. $\mathsf{(\exists x)(p(x))}$
2. $\mathsf{\exists x, p(x)}$
3. $\mathsf{\exists x: p(x)}$

Na proposição $\mathsf{(\exists a)(a^2+1 \leq 0),}$ percebe-se que o conjunto universo foi omitido. Desse modo, ela será verdadeira ("correta") caso o conjunto universo a que a variável a pertence for o conjunto dos números complexos $\mathbb{C.}$ Se for o conjunto dos números reais, por exemplo, será falsa.

Então a resposta depende do conjunto universo ao qual a variável a pertence.