Question

O quadrado MNPQ está inscrito no triângulo equilátero ABC, como se vê na figura. Se o perímetro do quadrado é 8 Então o perímetro do triângulo ABC é:

Answer 1

Primeiramente, vamos descobrir o lado l do quadrado. Para isto, basta dividir o perímetro pelo número de lados :
$l = p \div n \\ l = 8 \div 4 \\ l = 2$
Logo o lado l do quadrado vale 2.
Agora, precisaremos utilizar um pouco de trigonometria. Um triângulo equilátero é aquele que possui todos os seu lados iguais , e por consequência, todos os seu ângulos iguais.
$3x = 180 \\ x = 60$
Logo, cada ângulo deste triângulo equivale a 60 °. Agora iremos utilizar a trigonometria. Repare que o triângulo CMQ é um triângulo retângulo e o seu lado MQ vale 2( pois é o mesmo lado que o quadrado).Então , aplicando a trigonometria para descobrir o lado CQ (cateto adjacente):
$\frac{cateto \: oposto}{cateto \: adjacete} = \tan( \alpha ) \\ \frac{2}{x} = \sqrt{3} \\ x = \frac{2}{ \sqrt{3} } \\ x = \frac{2 \times \sqrt{3} }{ \sqrt{3} \times \sqrt{3} } \\ x = \frac{2 \sqrt{3} }{3}$

Logo o lado do CQ do triângulo vale 2√3/3 .
O lado do triângulo CB pode ser dado pela soma dos segmentos CQ+QP+PB.Ja temos todos esses valores , então é só substituir:
CQ=2√3/3.
PB=2√3/3.
QP=2 .
$l = \frac{2 \sqrt{3} }{3} + \frac{2 \sqrt{3} }{3} + 2 \\ l = \frac{4 \sqrt{3} }{3} + 2$
O lado do triângulo vale o valor encontrado acima .Para achar o seu perímetro,basta multiplicar pelo número de lados do polígono que no nosso caso é 3.
$p = 3 \times ( \frac{4 \sqrt{3} }{3} + 2) \\p = 3 \times ( \frac{4 \sqrt{3} + 6 }{3} ) \\ p = 6 + 4 \sqrt{3}$
Logo , o perímetro do do triângulo equivale a 6+4√3.