Question

O protótipo de um veículo esta sendo testado e sua velocidade no tempo x
é dada pela função abaixo:

f(x)= x² - 4/x - 2, 0 ≤ x < 2
ax² + bx + 3, se 2 ≤ x < 3
2x - a + b, se x ≥ 3

Os engenheiros do protótipo desejam que a velocidade apresente um comportamento de uma função contínua, ou seja, que ela não mude abruptamente em um determinado tempo. Neste caso, os valores de a e b que tornam a função f contínua, são:

(A) a= 1/2 e b= - 1/2

(B) a= - 5/2 e b = - 11/2

(C) a= 1/2 e b= 1/2

(D) a= -5/2 e b= 9/2

Answer 1

Os valores de a e b que tornam a função f contínua, são a = 1/2 e b = 1/2.

Correção: a função f é

$\frac{x^2-4}{x-4},0\leq x\leq 2$

ax² - bx + 3, se 2 ≤ x < 3

2x - a + b, se x ≥ 3.

Solução

A função f deverá ser contínua nos pontos 0, 2 e 3.

No intervalo 0 ≤ x  < 2 ela é contínua. Devemos verificar nos demais intervalos.

A função será contínua quando os limites laterais forem iguais ao valor da função em um determinado ponto, ou seja, devemos calcular:

• $\lim_{x \to 2^+} f(x)= \lim_{x \to 2^-} f(x) = f(2)$
• $\lim_{x \to 3^+} f(x)= \lim_{x \to 3^-} f(x)=f(3)$.

Sendo assim, temos que:

$\lim_{x \to 2^+} f(x)= \lim_{x \to 2^+} =ax^2-bx+3=4a-2b+3$;

$\lim_{x \to 2^-} f(x)= \lim_{x \to 2^-} \frac{x^2-4}{x-2}=4$

f(2) = a.2² - b.2 + 3 = 4a - 2b + 3

e

$\lim_{x \to 3^+} f(x)= \lim_{x \to 3^+} 2x-a+b=6 - a + b$

$\lim_{x \to 3^-} f(x)= \lim_{x \to 3^-} ax^2-bx+3=9a-3b+3$

f(3) = 2.3 - a + b = 6 - a + b.

Seguindo a definição escrita inicialmente:

4a - 2b + 3 = 4

4a - 2b = 1

e

6 - a + b = 9a - 3b + 3

10a - 4b = 3.

Com essas duas equações, obtemos o seguinte sistema linear:

{4a - 2b = 1

{10a - 4b = 3.

Multiplicando a primeira equação por -2:

{-8a + 4b = -2

{10a - 4b = 3

Somando as duas equações:

2a = 1

a = 1/2.

Logo, o valor de b é:

4.1/2 - 2b = 1

2 - 2b = 1

2b = 1

b = 1/2.

Alternativa correta: letra c).

Answer 2

Resposta:

alternativa c) A= -1/2 e B= 9/2