Question

O produto vetorial é definido de uma maneira que parece ser, à primeira vista, totalmente abstrata e arbitrária. A impressão é de se tratar de uma operação matematicamente coerente, porém sem nenhuma conexão com o mundo real. Na verdade, existem muitos problemas práticos que podem ser resolvidos utilizando o produto vetorial. O estudo deste assunto em cursos de engenharia é justificado exatamente por suas aplicações concretas. Um exemplo de utilidade prática do produto vetorial é o cálculo de áreas.



Assim, analise o caso a seguir.



Seja um triângulo ABC, sua área é numericamente igual à metade do módulo do produto vetorial entre dois vetores definidos por seus vértices. Considere o triângulo ABC em que A(1,1,3),B(3,2,0) e C(5,2,4).



Diante dessas informações, determine o valor da área deste triângulo.

Answer 1

O valor da área do triângulo de vértices A(1,1,3),B(3,2,0) e C(5,2,4) é de 7,3 UNID.

Como calcular a área do triângulo:

Para calcular a área do triângulo, precisamos determinar os vértices (AB e AC) do através dos pontos fornecidos na questão:

• Cálculo de AB

AB = B(3,2,0) - A(1,1,3)

AB = (2, 1, -3)

• Cálculo de AC

AC = C(5,2,4) - A(1,1,3)

AC = (4, 1, 1)

Agora, vamos colocar os dados em uma matriz, sendo a primeira linha o vetor resultado ( i j k), na segunda linha o lado (AB) e na terceira linha o lado AC.

$AB*AC =\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\2&1&-3\\4&1&1\end{array}\right] \left\begin{array}{cc}i&j\\2&1\\4&1\end{array}\right$

Calculamos o produto vetorial multiplicando as diagonais principais e secundárias:

• Cálculo das diagonais principais:

i×1×1 +j×(-3)×4 + k×2×1 = i -12j + 2k

• Cálculo das diagonais principais:

Lembrando que é necessário trocar o sinal, para isso, vamos colocar o sinal (-) na frente.

-(k×1×4) -(i×(-3)×1) -(j×2×1)= -4k +3i -2j

• Somando as diagonais principais e secundárias:

i -12j + 2k -4k +3i -2j = 4i - 14j -2k

• Calculamos a módulo do vetor resultante:

$\sqrt{4^{2}+ (-14) ^{2}+ (-2)^{2} } \\\sqrt{16+196+ 4} = 14,6$

Como diz na questão, a área do triângulo é dada pela metade do módulo do vetor resultante:

• Assim, temos:

A= 14,6/2 = 7,3 UNID

UNID é a unidade de medida, que não foi fornecida na questão.

Acesse para saber mais sobre área do triângulo: brainly.com.br/tarefa/21636400

#SPJ1