O produto entre os três primeiros termos de uma progressão geométrica crescente é igual a 27 e a soma desses mesmos três termos é igual a 13. O quinto termo dessa progressão aritmética é:
A: 81
B: 60
C: 32
D: 27
E: 16
Soluções para a tarefa
Resolução!
■ Progressão Geométrica
x/q . x . xq = 27
x^2 = 27
X = 3\/27
X = 3
x/q + x + x/q = 13
3/q + 3 + 3q = 13
3 + 3q + 3q^2 = 13q
3 + 3q +"3q^2 - 13q = 0
3q^2 - 10q + 3 = 0
Delta = (-10)^2 - 4 * 3 * 3
Delta = 100 - 36
Delta = 64
Delta = \/64
Delta = +-8
q ' = 10 + 8/6
q ' = 18/6
q ' = 3
q " = 10 - 8/6
q " = 2/6
q " = 1/3
Como é uma PG Crescente iremos usar o q = 3
= x/q , x , xq
= 3/3 , 3 , 3.3
= 1 , 3 , 9
■ A razão da PG
q = a2/a1
q = 3/1
q = 3
■ O quinto termo da PG
an = a1 * q^n - 1
an = 1 * 3^5 - 1
an = 1 * 3^4
an = 1 * 81
an = 81
Resposta: Letra " A "
Espero ter ajudado
O quinto termo dessa progressão geométrica é 81, alternativa A.
Essa questão se trata de progressão geométrica. Uma progressão geométrica é caracterizada por uma sequência de valores crescentes, decrescentes ou alternados, onde a razão entre um valor e seu antecessor é sempre constante. O termo geral da P.G. é dado por aₙ = a₁ . qⁿ⁻¹, sendo q a razão calculada por q = aₙ₊₁/aₙ.
Sabemos que o produto dos três primeiros termos é 27 e a soma é 13, logo:
a₁·a₂·a₃ = 27
a₁ + a₂ + a₃ = 13
Podemos escrever a₂ e a₃ como:
a₂ = a₁·q
a₃ = a₁·q²
Substituindo, temos:
a₁·a₁·q·a₁·q² = 27
a₁ + a₁·q + a₁·q² = 13
Desenvolvendo:
a₁³·q³ = 27
a₁·(1 + q + q²) = 13
Da primeira equação, temos:
(a₁·q)³ = 27
a₁·q = 3
a₁ = 3/q
Substituindo na segunda equação:
3/q·(1 + q + q²) = 13
3/q + 3 + 3q = 13
Multiplicando tudo por q:
3 + 3q + 3q² = 13q
3q² - 10q + 3 = 0
Resolvendo por Bhaskara, encontramos as raízes q' = 3 e q' = 1/3. Se a PG é crescente, q deve ser maior que 1, logo, q = 3.
Encontrando a₁:
a₁ = 3/3
a₁ = 1
O quinto termo da PG é:
a₅ = 1 · 3⁴
a₅ = 81
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