Question

O produto dos 25 primeiros termos da progressão geométrica estritamente crescente em que a1 = -3 e a25 = -1/3 é igual a:

Answer 1

Utilizando definiçã ode termo geral de Progressão geometrica e produtório, temos que o produtos destes 25 termos é 1.

Explicação passo-a-passo:

O termo geral de uma progressão geometrica é dada por:

$a_n=a_1.q^{n-1}$

Ou seja, podemos encontrar a razão q sabendo a1 e a25:

$-\frac{1}{3}=-3.q^{24}$

$\frac{1}{9}=q^{24}$

$q=\sqrt[24]{\frac{1}{9}}$

Transformando a raíz e a fração em potencias, temos:

$q=\sqrt[24]{3^{-2}}$

$q=3^{-\frac{2}{24}}$

$q=3^{-\frac{1}{12}}$

E tendo esta razão podemos encontrar o produtório dos 25 primeiros termos:

$P=3.(3.q).(3.q^2).(3.q^3)....(3.q^{24})$

Colocando 3 em evidência e somando os expoentes de q temos:

$P=3^{25}.q^{1+2+...+24}$

Note que o expoente de q é uma soma de P.A. que se usado a formula de soma de P.A. teremos o total de:

$P=3^{25}.q^{300}$

Substituindo a razão, temos:

$P=3^{25}.(3^{-\frac{1}{12}})^{300}$

$P=3^{25}.3^{-\frac{300}{12}}$

$P=3^{25}.3^{-25}$

Somando os expoentes temos:

$P=3^{25-25}$

$P=3^{0}$

$P=1$

Assim temos que o produtos destes 25 termos é 1.