Question

O produto de três números naturais é 216. Sabendo que esses três números são inversamente proporcionais a 2, 9 e 12, podemos dizer que o maior desses três números é igual a:​

Answer 1

Resposta:  O maior dos três números é igual a $18.$

Explicação passo a passo:

Sejam $x,\,y$ e $z$ os três números naturais inversamente proporcionais a 2, 9 e 12, respectivamente.

Segue que $x$ deve ser o maior deles, pois é inversamente proporcional a 2, que é o menor dos três valores dados.

Na proporcionalidade inversa, o produto entre as grandezas é constante. Sendo $k$ esta constante, devemos ter

    $2x=9y=12z=k\qquad (k\mathrm{~constante).}$

É informado que o produto dos três números é igual a 216:

    $xyz=216$

Multiplique os dois lados por $216=2\cdot 9\cdot 12$ para facilitar os cálculos:

    $\Longleftrightarrow\quad xyz\cdot 216=216\cdot 216\\\\ \Longleftrightarrow\quad xyz\cdot (2\cdot 9\cdot 12)=216^2$

Reordenando os fatores do lado esquerdo, a igualdade fica

    $\Longleftrightarrow\quad (2x)\cdot (9y)\cdot (12z)=216^2$

Substitua $2x,\,9y$ e $12z$ pela constante $k:$

    $\Longleftrightarrow\quad k\cdot k\cdot k=216^2\\\\ \Longleftrightarrow\quad k^3=216^2\\\\ \Longleftrightarrow\quad k=\,^3\!\!\!\sqrt{216^2}$

Decompondo 216 em seus fatores primos para calcular a raiz cúbica acima:

    $\Longleftrightarrow\quad k=\,^3\!\!\!\!\sqrt{(2^3\cdot 3^3)^2}\\\\ \Longleftrightarrow\quad k=\,^3\!\!\!\sqrt{2^6\cdot 3^6}\\\\ \Longleftrightarrow\quad k=\,^3\!\!\!\!\sqrt{(2^2\cdot 3^2)^3}\\\\ \Longleftrightarrow\quad k=2^2\cdot 3^2\\\\ \Longleftrightarrow\quad k=36\qquad\checkmark$

Encontrando $x,$ que é o maior dos três números:

Devemos ter

    $2x=k\\\\ \Longrightarrow\quad 2x=36\\\\ \Longleftrightarrow\quad x=\dfrac{36}{2}\\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad x=18\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta.}$

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Bons estudos!