O PROBLEMA DOS COELHOS
1) Um homem tem um par de coelhos em um ambiente inteiramente fechado. Desejamos
saber quantos pares de coelhos podem ser gerados deste par em um ano, se de um
modo natural a cada mês ocorre a produção de um par e um par começa a
produzir coelhos quando completa dois meses de vida.
Quantos pares de coelhos podem ser gerados de um par de coelhos em um ano?
Um pequeno começo para a resolução desse problema...
1ºMês - Têm-se apenas um par adulto
2ºMês - O par adulto deu origem a um par de coelhos novos.
3ºMês - Apenas o par adulto irá reproduzir novamente afinal, somente após dois meses que
os novos coelhos reproduzirão. Temos então 3 pares de coelhos.
4ºMês - O par mais velho reproduzirá pela terceira vez e o segundo par de coelhos irá se
reproduzir pela primeira vez. O par mais jovem ainda não possui tempo para a reprodução.
Temos então 5 pares de coelhos
A) Continue o cálculo do número de coelhos mês a mês até que se complete 1 ano da
primeira reprodução.
Soluções para a tarefa
Resposta:
No livro de Líber Abacci, é apresentado no capítulo 12, o problema mais famoso, entre todos os tratados por Fibonacci:
" Um homem pôs um par de coelhos num lugar cercado por todos os lados por um muro. Quantos pares de coelhos podem ser gerados a partir desse par em um ano se, supostamente, todos os meses cada par dá à luz um novo par, que é fértil a partir do segundo mês?"
Este problema está relacionado a uma das mais importantes descobertas da matemática.
Problema dos Coelhos
Assim, temos que:
No primeiro mês nasce apenas um casal;
Casais amadurecem e reproduzem-se apenas após o segundo mês de vida;
Não há problemas genéticos no cruzamento consanguíneo;
Todos os meses, cada casal fértil dá à luz um novo casal;
Os coelhos nunca morrem.
Mês #0 - Existe apenas um par de coelhos.
Mês #1 - Os coelhos só acasalam ao segundo mês, logo continua a haver apenas um casal.
Mes #2 - Neste mês já a fêmea deu à luz um par de coelhos, existindo agora dois pares de coelhos.
Mês #4 - O par original tem mais um par de coelhos. O par nascido no mês #2 também dá à luz e o par nascido no mês #3 acasalam, mas ainda ão dão à luz. Isto faz um total de cinco pares.
Mês #5 - Todos os pares que nasceram até há dois meses dão à luz, fazendo na totalidade 5 pares.
Então, quantos pares de coelhos nascem em cada mês ?
Como demora dois meses para cada novo par dar à luz, então cada par de coelhos que já existia há dois meses atrás irá dar à luz um novo par de coelhos. Por outras palavras, o número de novos pares de coelhos de cada mês, é igual ao número de coelhos nascidos dois meses antes.
Concluindo, o número de pares de coelhos em determinado mês, é a soma dos pares de coelhos existentes nos dois meses anteriores a este.
Matematicamente temos:
Resposta:
144
Explicação:
Resposta: No final do mês 12, o número de pares de coelhos deverá ser 144.
Com a solução do problema, observa-se a formação de uma sequência numérica, conhecida como a sequência de Fibonacci.
Esta seqüência de números tem uma característica especial denominada recursividade:
- O 1o.termo somado com o 2o.termo gera o 3o.termo
O 2o.termo somado com o 3o.termo gera o 4o.termo
O 3o.termo somado com o 4o.termo gera o 5o.termo
E assim por diante.
Em geral: u(n+1) = u(n-1) + u(n)