Question

O primeiro termo de uma série geométrica é 3 e o quinto termo
é 16/27 . Encontre a soma da série infinita.

Como encontro essa série?

.

Answer 1

A fórmula dos infinitos termos de uma P.G., quando a razão é maior -1 e menor que 1 (-1 < q < 1), é a seguinte:$S_{n \to \infty}=\dfrac{a_1}{1-q}$

Em que:
S = soma dos termos;
a1 = primeiro termo;
q = razão.

Para efetuarmos a soma dos infinitos termos de uma P.G., basta conhecermos o primeiro termo e a razão que necessariamente deve estar entre -1 e 1.

Na questão foi dado o primeiro termo (3), então basta descobrirmos a razão. E assim podemos calcular:

$a_5=a_1\cdot q^{4}\\\\\dfrac{16}{27}=3\cdot q^{4}\\\\\\q^{4}=\dfrac{16}{27\cdot3}\\\\\\q^{4}=\dfrac{16}{81}\longrightarrow q=\pm\sqrt[4]{\dfrac{16}{81}}\longrightarrow q=\pm\sqrt[4]{\dfrac{2^4}{3^4}}\longrightarrow q=\pm\dfrac{2}{3}$

Verifica-se que há duas razões possíveis para essa P.G.: 2/3 e -2/3. Então teremos que considerar dois valores possíveis para a soma dos infinitos termos dessa P.G..


Para a razão q = 2/3:

$S_{n\to\infty}=\dfrac{a_1}{1-q}\\\\\\S_{n\to\infty}=\dfrac{3}{1-\frac{2}{3}}\\\\\\S_{n\to\infty}=\dfrac{3}{\frac{3}{3}-\frac{2}{3}}\\\\\\S_{n\to\infty}=\dfrac{3}{\frac{1}{3}}\\\\\\S_{n\to\infty}=3\cdot3\longrightarrow\boxed{S_{n\to\infty}=9}$


Para a razão q = -2/3:

$S_{n \to \infty}=\dfrac{a_1}{1-q}\\\\\\S_{n\to\infty}=\dfrac{3}{1-\left(-\frac{2}{3}\right)}\\\\\\S_{n\to\infty}=\dfrac{3}{1+\frac{2}{3}}\\\\\\S_{n\to\infty}=\dfrac{3}{\frac{3}{3}+\frac{2}{3}}\\\\\\S_{n\to\infty}=\dfrac{3}{\frac{5}{3}}\\\\\\S_{n\to\infty}=3\cdot\dfrac{3}{5}\\\\\\ S_{n\to\infty}=\dfrac{9}{5}\longrightarrow\boxed{S_{n\to\infty}=1,8}$