Question

O primeiro termo de uma Progressão geométrica é 5√2 ,a razão é √2 e o último termo é 80. Quantos termos tem esta progressão geométrica? Qual é o quinto termo? Ache a soma de todos os termos.

Answer 1

De acordo com os dados do enunciado e solucionados concluímos  que:

$\Large \displaystyle \mathsf{ n = 8 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{a_5 = 20\: \sqrt{2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ S_8 = 150+75\: \sqrt{2} } }$

Progressão Geométrica ( P.G ) é sequência de números reais não nulos que o quociente entre um termo qualquer ( a Partir do 2° ) e o termo antecedente é sempre o mesmo ( constante ).

Exemplos:

$\boldsymbol{ \textstyle \sf ( 2,6,18 ,54, \dotsi) }$ é uma P. G de razão $\boldsymbol{ \textstyle \sf q = 3 }$;

$\boldsymbol{ \textstyle \sf ( 4, - 4, 4, -4, \dotsi) }$ é uma P. G de razão $\boldsymbol{ \textstyle \sf q = - 1 }$.

Fórmula do termo geral de uma P.G:

$\Large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{a_n = a_1 \cdot q^{n-1} } } }$

Soma dos n primeiros termos de uma P.G:

$\Large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{S_n = \dfrac{a_1 \cdot (q^n - 1) }{q - 1} } } } \quad \Large \displaystyle \mathsf{ Para ~ q \neq 1 }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf a_ 1 = 5\sqrt{2} \\ \sf q = \sqrt{2} \\\sf a_n = 80 \\ \sf n = \:? \\\sf a_5 = \:? \\\sf S_n = \:? \end{cases} } }$

Quantos termos tem esta progressão geométrica?

Usando a expressão do termo geral para determinar a quantidade de termos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{a_n = a_1 \cdot q^{n-1} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ 8 0 = 5\sqrt{2} \cdot \left( \sqrt{2} \right) ^{n-1} } }$

Aplicar a propriedade de produto da potência.

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ 8 0 = 5 \cdot \left( \sqrt{2}\right)^{n-1 + 1} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ 8 0 = 5 \cdot \left( \sqrt{2}\right)^{n} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \left(\sqrt{2}\right)^n = \dfrac{80}{5} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \left(\sqrt{2}\right)^n = 16 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \left( 2^{1/2} \right)^n = 2^4 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \backslash\!\!\!{2}^{n/2} = \backslash\!\!\!{2}^4 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{n}{2} = 4 } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ n = 2 \cdot 4 }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf n =8 }$

Qual é o quinto termo?

Usando novamente a expressão do termo geral, temos:

$\Large \displaystyle \mathsf{ a_5 = a_1 \cdot q^4 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ a_5 = 5\sqrt{2} \cdot \left(\sqrt{2} \right)^{4} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ a_5 = 5 \cdot \left(\sqrt{2} \right)^{4 +1} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ a_5 = 5 \cdot \left(\sqrt{2} \right)^{5} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{a_5 = \sqrt{2^4 \cdot 2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{a_5 = 5 \cdot \sqrt{2^4} \cdot \sqrt{2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ a_5 =5 \cdot 2^2 \cdot \sqrt{2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ a_5 = 5 \cdot 4 \cdot \sqrt{2} } }$

$\large \boldsymbol{ \displaystyle \sf a_5 = 20\:\sqrt{2} }$

Ache a soma de todos os termos.

Aplicando soma dos n primeiros termos de uma P.G , temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{S_n = \dfrac{a_1 \cdot (q^n - 1) }{q - 1} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{S_8 = \dfrac{5\sqrt{2} \cdot ( \left(\sqrt{2} \right)^8 - 1) }{ \sqrt{2} - 1} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{S_8 = \dfrac{5\sqrt{2} \cdot ( 16 - 1) }{ \sqrt{2} - 1} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{S_8 = \dfrac{5\sqrt{2} \cdot 15 }{ \sqrt{2} - 1} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{S_8 = \dfrac{75\sqrt{2} }{ \sqrt{2} - 1} \cdot \frac{ \sqrt{2} + 1 }{\sqrt{2} +1 } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{S_8 = \dfrac{75\sqrt{4} + 75 \sqrt{2} }{ 2 - 1} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{S_8 = \dfrac{75\cdot 2 + 75 \sqrt{2} }{ 1} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf S_8 = 150 + 75\:\sqrt{2} }$

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