Matemática, perguntado por alickjp27, 10 meses atrás

O prefeito de uma município solicitou a sua equipe uma pesquisa sobre a crescimento da população. Os técnicos chegaram a conclusão que , daqui “t”anos a população será P(t) = 40 - 8/t^2+1 mil moradores.
a) Escreva uma expressão para a taxa de variação do número de moradores daqui a anos?
b) Qual será a taxa de aumento da população daqui a 2 anos?
c) Qual será o aumento da população durante o 2º ano?
d) O que acontecerá com a taxa de aumento de população a longo prazo?

Obs: t^2 é t elevado a 2

Soluções para a tarefa

Respondido por lasouza627

O que é derivação?

A derivação é uma das vertentes do cálculo diferencial e integral que consiste em, a partir de uma função f(x) dada, encontrar uma outra função f'(x), chamada de derivada, que representa a taxa em que f(x) varia à medida em que x varia.

Encontrando a derivada da função dada

$P'(t)=\dfrac{d}{dt}\left(40-\dfrac{8}{t^2+1} \right)\\\\P'(t)=\dfrac{d}{dt}\;40-8\;.\;\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{1}{t^2+1} \right)\\\\P'(t)=0-8\;.\;\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{1}{t^2+1} \right)\\\\P'(t)=-8\;.\;\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{1}{t^2+1} \right)\\$

Usando a regra da derivada recíproca, ou seja,

$\dfrac{d}{dt}\;\dfrac{1}{v}=-\dfrac{1}{v^2}\;.\;\dfrac{d}{dt}\;v$

temos

$P'(t)=-8\;.\;-\dfrac{1}{(t^2+1)^2}\;.\;\dfrac{d}{dt}\left(t^2+1 \right)\\\\P'(t)=\dfrac{8}{(t^2+1)^2}\;.\;\dfrac{d}{dt}\;t^2+\dfrac{d}{dt}\;1\\\\P'(t)=\dfrac{8}{(t^2+1)^2}\;.\;2t+0\\\\\\\boxed{\boxed{P'(t)=\dfrac{16t}{(t^2+1)^2}}}$

Respondendo às perguntas

a) Escreva uma expressão para a taxa de variação do número de moradores daqui a t anos?

$P'(t)=\dfrac{16t}{(t^2+1)^2}$

b) Qual será a taxa de aumento da população daqui a 2 anos?

$P'(2)=\dfrac{16\;.\;2}{(2^2+1)^2}\\\\P'(2)=\dfrac{32}{(4+1)^2}\\\\P'(2)=\dfrac{32}{5^2}\\\\P'(2)=\dfrac{32}{25}\\\\P'(2)=1,28\;mil\;moradores=1.280\;moradores$

c) Qual será o aumento da população durante o 2º ano?

Como P(t) calcula a população daqui a t anos, então o crescimento durante o segundo ano é igual à diferença entre a população daqui a 3 anos e a população daqui a 2 anos, ou seja,

$Aumento=P(3)-P(2)\\\\Aumento=40-\dfrac{8}{3^2+1}-\left( 40-\dfrac{8}{2^2+1} \right)\\\\Aumento=40-\dfrac{8}{9+1}-40+\dfrac{8}{4+1}\\\\Aumento=-\dfrac{8}{10}+\dfrac{8}{5}\\\\Aumento=-\dfrac{8}{10}+\dfrac{16}{10}\\\\Aumento=\dfrac{8}{10}\\\\Aumento=0,8\;mil\;moradores=800\;moradores$

d) O que acontecerá com a taxa de aumento de população a longo prazo?

O aumento da população tende a zero a longo prazo.

Há duas formas de verificar essa informação:

1) Analisando a derivada, ou seja, a taxa de variação da população - à medida que t cresce, o denominador $(t^2+1)^2$ se aproxima cada vez mais de $(t^2)^2=t^4$ e fica muito maior que o numerador, $16t$ . Logo, o resultado da divisão fica cada vez mais próximo de zero.

2) Analisando o gráfico das funções (figura anexa) - nele podemos ver que, ao longo do tempo, a população (linha azul) cresce cada vez mais devagar, se aproximando de 40 mil moradores. Ao mesmo tempo, podemos ver que a taxa de variação (linha vermelha) cai cada vez mais, se aproximando de zero.