Question

Na planta tridimensional de um projeto de engenharia o canteiro central de uma certa rua encontra-se modelado pela seguinte equação y=$\frac{3} 4}x+2$.Perpendicularmente ao canteiro serão
instalados, para iluminação, postes de 8 metros de comprimento, com lâmpadas na extremidade livre. Em um dos postes a lampâda está posicionada no ponto de coordenadas (2,k). Considerando as informações, marque a alternativa que traz um possível valor para k.
a) 2,75
b) 13,5
c) 8
d) 4,25
e) 3

Answer 1

Podemos utilizar a fórmula para o cálculo da distância entre ponto e reta e substituir os valores dados:

p = (2,k)
d = 8 
r: -3/4x + y - 2 = 0

x = 2
y = k
a = -3/4
b = 1
c = -2

$\displaystyle d = \frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \\ \\ \\ \\ 8 = \frac{\displaystyle -\frac{3}{4}\cdot2+1\cdot k-2}{\sqrt{\displaystyle (-\frac{3}{4})^{2}+1^{2}}} \\ \\ \\ \\ 8=\frac{\displaystyle k-\frac{7}{2}}{\displaystyle \sqrt{\frac{25}{16}}} \\ \\ \\ \\ 8^{2}=\frac{(\displaystyle k-\frac{7}{2})^{2}}{(\displaystyle \sqrt{\frac{25}{16}})^{2}} \\ \\ \\ \\ 64=\frac{\displaystyle k^{2}-7k+\frac{49}{4}}{\displaystyle \frac{25}{16}}$

$\displaystyle 64=(k^{2}-7k+\frac{49}{4}) \cdot \frac{16}{25} \\ \\ \\ \\ 64 = \frac{16}{25}k^{2} - \frac{112}{25}k+\frac{196}{25} \\ \\ \\ \\ 64 - \frac{16}{25}k^{2} + \frac{112}{25}k-\frac{196}{25}=0 \\ \\ \\ \\ - \frac{16}{25}k^{2} + \frac{112}{25}k+\frac{1404}{25}$

Pode parecer estranho, mas se calcular as raízes dessa equação, irá encontrar os valores k = -6,5 e k = 13,5 que fazem com que os postes perpendiculares tenham 8 m em relação à reta.

Espero ter ajudado! Bons estudos.