Question

o ponto q(x,y) é equidistante dos pontos A (3,6) B(0,0) e C (4,3). Calcule o valor de x+y​

Answer 1

• Se o ponto Q(x, y) equidista dos pontos A, B e C, então a distância do ponto Q aos pontos A, B e C são iguais:

$\large d_{QA} = d_{QB} = d_{QC}$

• A distância entre dois pontos Q e A é obtida por:

$\large d_{QA}^2 = (x_{Q} - x_{A})^2 + (y_{Q} - y_{A})^2$

• Para os pontos A(3, 6) B(0, 0) e C(4, 3):

$\large d_{QA}^2 = (x - 3)^2 + (y-6)^2$

$\large d_{QB}^2 = (x - 0)^2 + (y-0)^2 = x^2 + y^2$

$\large d_{QC}^2 = (x - 4)^2 + (y-3)^2$

• Observe que se $\large d_{QA} = d_{QB} = d_{QC}$ então $\large d^2_{QA} = d^2_{QB} = d^2_{QC}$.

• Para $\large d^2_{QA} = d^2_{QB}$:

(x − 3)² + (y − 6)² = x² + y²

x² − 6x + 3² + y² − 12y + 6² = x² + y²

• Subtraia x² + y² de ambos os membros.

− 6x + 9 − 12y + 36 = 0 ⟹ Reduza os termos semelhantes.

− 6x − 12y + 45 = 0 ①

• Para $\large d^2_{QC} = d^2_{QB}$:

(x − 4)² + (y − 3)² = x² + y²

x² − 8x + 4² + y² − 6y + 3² = x² + y²

− 8x + 16 − 6y + 9 = 0 ⟹ Multiplique ambos os membros por (−2).

16x − 32 + 12y − 18 = 0 ⟹ Reduza os termos semelhantes.

16x + 12y − 50 = 0 ②

• Some as equações ① e ② membro a membro.

− 6x − 12y + 45 = 0 ①

16x + 12y − 50 = 0 ②

——————————————

10x − 5 = 0 ① + ②

10x = 5 ⟹ Divida ambos os membros por 5.

2x = 1 ⟹ Divida ambos os membros por 2.

$\large \sf x = \dfrac{1}{2}$

• Substitua o valor de x em qualquer equação. Na equação ②:

16x + 12y − 50 = 0

$\large \sf 16 \cdot \dfrac {1}{2} + 12y - 50 = 0$

8 + 12y − 50 = 0

12y − 42 = 0

12y = 42 ⟹ Divida ambos os membros por 6.

2y = 7 ⟹ Divida ambos os membros por 2.

$\large \sf y = \dfrac{7}{2}$

• Calcule x + y:

$\large \sf x+y = \dfrac{1}{2} + \dfrac{7}{2} = \dfrac{8}{2}$

x + y = 4

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