Question

O ponto "P" pertence à bissetriz dos quadrantes pares e tem como abscissa um número inteiro. A
área do triángulo formado por A( 4; -3), B( 1;3) e P
mede 15 u.a. A reta que passa pelos pontos A e B intercepta o eixo das ordenadas em Q. Com base nesses dados,
qual a distância entre Pe Q?​

Answer 1

A área de um triângulo qualquer cujos vértices são os pontos $P = (p_x, p_y)$, $Q = (q_x,q_y)$ e $R = (r_x, r_y)$ pode ser calculada pelo determinante da seguinte expressão:

$A = \dfrac{1}{2} \cdot \left[\begin{array}{ccc}p_x&p_y&1\\q_x&q_y&1\\r_x&r_y&1\end{array}\right]$

No nosso caso, nós sabemos as coordenadas de dois pontos (A e B) e também conhecemos a área (15).

Nos resta calcular as coordenadas do ponto P. Mas o exercício nos dá uma dica: Este ponto corresponte à bissetriz dos quadrantes pares.

A bissetriz é uma reta que divide os quadrantes em duas metades iguais, ou seja, ela corta, exatamente na metade, dos quadrantes 2 e 4.

Isso significa que essa bissetriz pode ser definida pela reta:

$y = -x$

Ou seja, a coordenada Y do ponto P é o negativo da coordenada X, assim, o ponto P pode ser escrito como:

$P = (p_x, -p_x)$

E, por conseguinte, a matriz pode ser reescrita como:

$15 = \dfrac{1}{2} \cdot \left[\begin{array}{ccc}p_x&-p_x&1\\4&-3&1\\1&3&1\end{array}\right]$

Com isso poderemos encontrar o valor de $p_x$ e também das coordenadas do ponto P. Calculando:

$15 = \dfrac{1}{2} \cdot (-3 \cdot p_x - p_x + 12 + 3 + 4 \cdot p_x - 3 \cdot p_x)$

$15 = \dfrac{1}{2} \cdot (+ 15 - 3 \cdot p_x)$

Passo o dois do denominador para o outro lado multiplicando:

$30 = 15 -3 \cdot p_x$

$15 = -3 \cdot p_x$

$p_x = -\dfrac{15}{3}$

$p_x = -5$

Ou seja, P = (-5,5).

Ok, agora vamos ao ponto P. Sabendo que o ponto Q é a intersecção da reta definida pelos pontos A e B e o eixo Y (ordenadas, x = 0), podemos primeiramente calcular a equação da reta que passa por A e B:

$y = a \cdot x + b$

Em A = (4, -3):

$-3 = 4 \cdot a + b$

$b = -3 - 4 \cdot a$

Em B = (1,3):

$3 = 1 \cdot a + b$

$b = 3 - a$

Substituindo o b da equação acima pelo b da primeira equação:

$-3 - 4 \cdot a = 3 - a$

$-4 \cdot a + a = 3 + 3$

$-3 \cdot a = 6$

$a = - \dfrac{6}{3}$

$a = -2$

Substituindo a por -2 em qualquer uma das duas equações, podemos encontrar b:

$b = 3 - a$

$b = 3 - (-2)$

$b = 3 + 2$

$b = 5$

Logo, a equação da reta é dada por:

$y = -2 \cdot x + 5$

Para encontrar a coordenada y do ponto Q, basta substituir x por 0 na equação acima:

$y = -2 \cdot 0 + 5$

$y = 5$

Ou seja, Q = (0,5).

Agora conhecendo as coordenadas dos dois pontos, podemos simplesmente calcular a distância entre eles pela equação:

$d_{P,Q} = \sqrt{(p_x - q_x)^2 + (p_y-q_y)^2}$

Substituindo:

$d_{P,Q} = \sqrt{(-5 - 0)^2 + (5-5)^2}$

$d_{P,Q} = \sqrt{(-5)^2 + (0)^2}$

$d_{P,Q} = \sqrt{25 + 0}$

$d_{P,Q} = \sqrt{25}$

$\boxed{d_{P,Q} = 5\text{ u.m}}$