Question

O ponto P(-4,5) pertecem à circunferência Y(invertido) da equação x^2+y^2+6x-4y+3=0. Determine a equação da reta r que tangência a circunferência no ponto P.​

Só responda se souber a resposta, caso contrário vou denunciar

Answer 1

Essa eu vou resolver por derivada.

Temos a circunferência.

$x^2+y^2+6x-4y+3=0$

vamos deixar na forma reduzida para facilitar :

$(x+3)^2 + (y-2)^2 = 10$

reta r tangente à circunferência que passa no ponto $P(-4,5)$.

reta r : y = a.x + b

sendo a = $\displaystyle \frac{dy}{dx} [(x+3)^2+(y-2)^2 = 10]}$

( a é igual a derivada da equação da circunferência no ponto P )

Derivando implicitamente :

$\displaystyle a = 2(x+3) + 2.(y-2).(y') = 0 \to \fbox{\displaystyle a = y' = \frac{-(x+3)}{(y-2)} }$

substituindo pelo ponto P(-4,5) :

$\displaystyle a = y' = \frac{-(-4+3)}{(5-2)} \to \fbox{\displaystyle y' = a = \frac{1}{3} }$

Reta tangente :

$\displaystyle y = \frac{1}{3}.x + b$

substituindo o ponto P(-4,5) :

$\displaystyle 5 = \frac{-4}{3} + b \to b = \frac{4}{3} + 5 \to \fbox{\displaystyle b=\frac{19}{3} }$

Portanto a equação da reta r que tangencia a circunferência no ponto P é:

$\fbox{\displaystyle y = \frac{x}{3} +\frac{19}{3} }$

(imagem para provar )